Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[metelev_sv]

отложить на искомой прямой 3 см

потом над одним концом отложенного отрезка искать точку, из которой расстояние до ближнего конца будет 4 см, а до дальнего 5 см. Из найденой точки провести прямую через ближайший конец отрезка. Задача выполнена

собсно, эт получается Египетский треугольник

Тогда ещё проще, взять деревянную линейку-треугольник и не валять дурака (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Дело в том, что нет не только циркуля (и возможности нарисовать окружность), но и возможности отложить произвольную длину на прямой. Только кратную одному сантиметру.

[Lord-Aries]

3 кратно 1?

[metelev_sv]

3 кратно 1?

Да, кратно. Но нет двух точек, чтобы провести прямую. И нет циркуля, чтобы провести окружность радиуса 3 сантиметра.

[Lord-Aries]

Не так(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) .
3 см можно у прямой отложить? Откладываем(IMG:style_emoticons/default/wink.gif) . Далее от любого конца отмеряем 4 см по направлению примерного перпендикуляра. В этой точке проводим прямую, примерно параллельную искомой. Теперь откладываем от дальнего (другого, не над которым 4 см вверх и условно параллельная прямая 5 см видим, где она на этой условно параллельной прямой оставит точку. Да, у нас циркуля нет, но вертеть линейку можно и без циркуля очень свободно(IMG:style_emoticons/default/wink.gif) - то есть будет гипотенуза египетского прямоугольного треугольника, со сторонами 3 4 и 5 см. Угол между 3 и 4 прямой. В случае, если у нас не совпадут точки от перпендикуляра на глаз и 5 см гипотенузное пересечение, следует удостовериться, что расстояние от пересечения гипотенузы и условно параллельной прямой также 4 см. Если нет, то зная эти точки легко на месте сделать коррекцию и найти ту точку, расстояние до которой от ближнего конца отрезка 4 см, а от дальнего - 5. От через неё, а также через ближний конец 3-см отрезка и проводим перпендикуляр.

[metelev_sv]

Максимум, что научился, провести параллельную прямую. А как сделать перпендикуляр пока не приходит в голову.

[XuMuK]

Ставим точку А на прямой 1. От этой точки под углом к прямой откладываем отрезок АВ, кратный 2 см. Ставим точку С на середине отрезка 1. Проводим из точки С отрезок СD до прямой 1, равный половине отрезка AB. Проводим прямую 2 через точки B и D. Прямая 2 перпендикулярна прямой 1. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)



Т.е. получается, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Сообщение отредактировал XuMuK - 20.06.2009, 10:42

[Lord-Aries]

Максимум, что научился, провести параллельную прямую. А как сделать перпендикуляр пока не приходит в голову.

щас нарисую

[metelev_sv]

Проводим из этой точки отрезок 2 до прямой 1, равный половине отрезка 1.

Схема отличная, только вот этот пункт непонятно как осуществить без циркуля.

[XuMuK]

Проводим из этой точки отрезок 2 до прямой 1, равный половине отрезка 1.

Схема отличная, только вот этот пункт непонятно как осуществить без циркуля.

Свое сообщение немного подредактировал для наглядности (IMG:style_emoticons/default/skonfuzen.gif)

У нас же есть линейка с делениями по 1 см. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Начальный отрезок специально брался кратным 2 см, чтобы можно было потом линейкой отложить его половину. А отложить его несложно. Совмещаем одно из делений линейки с точкой С и вращаем линейку до совмещения деления линейки, отвечающего половине длины отрезка АВ, с прямой 1. Проводим отрезок CD.

[metelev_sv]

А отложить его несложно. Совмещаем одно из делений линейки с точкой С и вращаем линейку до совмещения деления линейки, отвечающего половине длины отрезка АВ, с прямой 1. Проводим отрезок CD.

Не думаю, что VSam одобрит, мне кажется другое решение должно быть.

[XuMuK]

А отложить его несложно. Совмещаем одно из делений линейки с точкой С и вращаем линейку до совмещения деления линейки, отвечающего половине длины отрезка АВ, с прямой 1. Проводим отрезок CD.

Не думаю, что VSam одобрит, мне кажется другое решение должно быть.

Если дело в погрешности откладывания отрезка в силу человеческого фактора, то почему бы не взять большущую линейку и отложить первоначальный отрезок длиной в 1 км. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) . Далее все операции по алгоритму. Тогда отклонение от перпендикуляра будет намного меньше (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Хотя, здесь мы действительно пользуемся линейкой как циркулем... (IMG:style_emoticons/default/skonfuzen.gif)

Сообщение отредактировал XuMuK - 20.06.2009, 13:58

[Lord-Aries]

и моё решение, альтернативное(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
 111111.doc ( 29 килобайт ) Кол-во скачиваний: 345

[XuMuK]

и моё решение, альтернативное(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Число итераций может получиться довольно большим (IMG:style_emoticons/default/04.gif)

[Lord-Aries]

Эт может быть, но на практике 2-3, не более. У нас есть способ определения места судна - там надо подобрать место с 2-мя плоскими углами - подбирается быстро вполне, а тут так вообще делать нефиг.

[XuMuK]

Можно еще так решить, но тогда получается, что цена деления вообще не играет роли.

Проводим прямую, ставим на ней точку А. Через точку А проводим любую прямую а



А теперь с одной и с другой стороны от прямой а проводим параллельные равноудаленные прямые b и c. Параллельность и равноудаленность обеспечиваются параллельностью двух сторон канцелярской линейки и постоянной ее шириной (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Эти прямые пересекают исходную прямую соответственно в точках В и С.



Затем проводим параллельные прямые через точки А и С таким образом, что точка А лежит с одной стороны линейки, а точка С - с другой. Прямая, проведенная через точку C пересекает прямую b в точке D. А прямая, проведенная через точки D и А, перпендикулярна исходной прямой.



Таки получилось... (IMG:style_emoticons/default/total_sc.gif) Хотел построить хотя бы равнобедренный треугольник, а получился даже ромб (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[metelev_sv]

Можно еще так решить, но тогда получается, что цена деления вообще не играет роли.

Я тоже в этом направлении думал, только к сожалению это не решение тоже. Сами по себе параллельные прямые можно провести и без двух сторон канцелярской линейки Дело в том, что (очевидно) играет большую роль угол под которым пускать эти параллельные прямые. Если он не одинаков для одной и другой серии параллельных прямых, то ничего не получается.

Сообщение отредактировал metelev_sv - 20.06.2009, 15:30

[Lord-Aries]

Не, ну параллельные прямые... а ежели линейка тупо с одной стороны линейка, а другой кружавчики?

[XuMuK]

Можно еще так решить, но тогда получается, что цена деления вообще не играет роли.

Я тоже в этом направлении думал, только к сожалению это не решение тоже. Сами по себе параллельные прямые можно провести и без двух сторон канцелярской линейки Дело в том, что (очевидно) играет большую роль угол под которым пускать эти параллельные прямые. Если он не одинаков для одной и другой серии параллельных прямых, то ничего не получается.

В этом-то и вся суть!.. Ведь в начале я провел три параллельных прямых только для того, чтобы отрезки АВ и ВС были равны по длине. Весь фокус в том, что длина отрезка уже характеризует угол наклона параллельных прямых, ведь ширина линейки не изменяется... А проводим мы их таким образом, что один конец отрезка находится с одной стороны линейки, а другой конец - с другой стороны линейки (нетрудно увидеть, что если длина отрезка равна ширине линейки, то автоматически получается перпендикуляр к исх. прямой).

Не, ну параллельные прямые... а ежели линейка тупо с одной стороны линейка, а другой кружавчики?

Но не просто параллельные прямые, а так, чтобы между каждой парой прямых расстояние было одинаково.

А про линейку надо бы VSam'а спросить, какой линейкой можно пользоваться. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Lord-Aries]

Но не просто параллельные прямые, а так, чтобы между каждой парой прямых расстояние было одинаково.

Ну для этого нужно немного бОльшее количество итераций? Чесслово, не понимаю, отчего вам ваш первый способ не глянулся(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[XuMuK]

Но не просто параллельные прямые, а так, чтобы между каждой парой прямых расстояние было одинаково.

Ну для этого нужно немного бОльшее количество итераций?

Итерации не нужны, потому что я все же считаю линейку в задаче за обычную канцелярскую (IMG:style_emoticons/default/vse_ravno.gif)

Чесслово, не понимаю, отчего вам ваш первый способ не глянулся(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Потому что в том случае я воспользовался линейкой как циркулем, а в новом способе воспользовался свойством линейки (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Для просмотра этого блока Вам необходимо создать не менее 1000 сообщений

Сообщение отредактировал XuMuK - 20.06.2009, 17:10

[Lord-Aries]

неа, ни разу как циркулем. Расстояние в 2 см - не циркулево. Точка посреди отрезка - не циркулево. Соединить эту точку отрезком заданной длины с прямой - не циркулево. Я не увидел, чтоб вы ей круги чертили. И тем более, никакого нестандартного (неЛинейного) использования линейки я не усмотрел. Так что ничего противозаконного в твоём решении нет.

И вообще, где VSam, уже некоторое количество решений получилось - пусть бы уж указал своё(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[VSam]

И вообще, где VSam, уже некоторое количество решений получилось - пусть бы уж указал своё (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Отметим на данной прямой точки A, B и C, для которых AB = BC = 1 см. Построим точки M и N по одну сторону от прямой так, что MB = NB = 1 см. Тогда <AMC = < ANC = 90 ^o.

Пусть AM и CN пересекаются в точке K, а AN и CM — в точке L. Тогда KL _|_ AC, т.к. AM и BN — высоты треугольника AKC.




(IMG:http://img3.imageshack.us/img3/408/lineanm.jpg)

[XuMuK]

Да, это решение выглядит более изящно, что ли... (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[metelev_sv]

т.к. AM и BN — высоты треугольника AKC.

Опечатка, AN и CM.

Красивое решение, интересная задача, спасибо!

[metelev_sv]

Вот, задумался как доказывается, что высоты треугольника пересекаются в одной точка. Нашёл в Кванте за 75-й год, второй номер, в статье о прямой Эйлера, автор Э. Г. Готман. В ней же с помощью векторов доказывается ещё нескольких утверждений. Вот подумал что не только мне интересно, в аттаче прицепляю эту статью.

 triang.djvu ( 176.66 килобайт ) Кол-во скачиваний: 254