Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[metelev_sv]

У меня получилось:
1024375869
9876524130

Лен, так 11 цифр должно быть, на что VSam справедливо указал Лорду два сообщения назад. А потом, первые цифры-то должны быть девятки. Наверное это решение от какой-нибудь другой интересной задачи (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Elena]

Ну я вообще-то решала задачку, предложенную ycheff'ом (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) Если будет интересно, как у меня получился такой ответ, попозже напишу (я ща не из дома пишу просто)

[VSam]

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда,

когда сумма цифр с чередующимися знаками равна 0 или делится на 11

(то есть 1024375869 делится на 11, так как 1-0+2-4+3-7+5-8+6-9 = -11 делится на 11;

9876524130 тоже делится на 11, так как 9-8+7-6+5-2+4-1+3-0 = 11 делится на 11).

[ycheff]

Признак делимости на 11 - это лишь начало решения. Решение примерно такое:
Кроме того важно, что сумма всех цифр числа равна 45, так что 0 и 22 для разности сумм четных и нечетных цифр числа не удастся получить (число 45 нечетное).
Легко показать, что разность +/-33 дает числа, далекие от оптимальных (либо большие цифры лезут в первые разряды для числа, которое должно быть малым, либо малые лезут в первые разряды числа, которое должно быть большим), так что приходится искать числа с разностью +/-11 (одна сумма при этом равна (45+11)/2=28, другая 17).
Минимальное число должно быть по возможности ближе к числу 1023456789. Но уже сохраняя 4 первые цифры (1023...), получим 3 для сумм первых пар цифр, значит суммы для остальных должны быть 25 и 14 (это невозможно, так как 4+5+6=15>14 или 7+8+9=24<25). Приходится 3 поменять с 4 местами (теперь ищем число в виде 1024...). Тогда суммы для первых пар цифр 3 и 4, значит суммы для остальных цифр могут быть 17-3=14 и 28-4=24, что нам в самый раз подходит - 4, 5, 6 идут в нечетные разряды, а 7, 8, 9 - в четные: 1024375869.
Максимальное число должно быть ближе к числу 9876543210. Сохраняя 6 цифр (987654...), получим суммы первых троек цифр 21 и 18 (18>17), это не подходит. 4 заменить на 3 недостаточно, так как сумма будет 17, а нулями оставшиеся цифры быть не могут. Значит 4 заменяем на 2, а в четные разряды попадут 1 и 0 (в нечетные, соответственно 4 и 3). Теперь получается ответ: 9876524130.

[VSam]

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

[ycheff]

Нет, по признаку делимости на 3 из числа 123456789 все время надо вычитать числа, делящиеся на 3. Значит стартовать надо было с числа, делящегося на 3.

[VSam]

Нет, по признаку делимости на 3 из числа 123456789 все время надо вычитать числа, делящиеся на 3. Значит стартовать надо было с числа, делящегося на 3.

(IMG:http://www.sci-lib.net/style_images/ip.boardpr/spacer.gif)
Да, правильно.

[VSam]

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус.
В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию,
и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам.
Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы,
и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д.
Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

[metelev_sv]

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус.
В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию,
и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам.
Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы,
и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д.
Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Да. Каждый раз после деления половину бактерий с одним вирусом можно отсаживать из каждой чашки, при этом ситуация во всех чашках будет одинакова. Тогда получается что вирус каждый раз съедает одну бактерию из начальной колонии и в конце концов съест их всех в своей чашке и каждый другой вирус в своей. Это произойдёт за n минут.

[VSam]

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел.Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2009. Какие числа остались на доске?

[metelev_sv]

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел.Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2009. Какие числа остались на доске?

Если поделить 2009 на 9 получим примерно 223. Теперь будем добавлять к этому числу соседей слева и справа. На первом этапе +222+224=223*2, на втором +221+225=223*2 и т.д., пока не получим девять членов ряда.
219 220 221 222 223 224 225 226 227
Их сумма равна
223*10-223=2007

Чтобы получить из этого числа 2009 надо заменить одно из чисел на большее на 2. Если учесть, что новое число надо дописать в конец, чтобы оно продолжало последовательность, то ясно что заменить надо 226, дописав в конец 228, это даст искомое увеличение на 2.

Итого, были написаны числа с 219 до 228, стёрто было число 216.

[ycheff]

"Ляпсус калями" - не 216, а 226 стерли

[VSam]

На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и вкаждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре.

Докажите, что на черных клеток шахматной доски стоит четное число фигур.

[metelev_sv]

На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и вкаждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре.

Докажите, что на черных клеток шахматной доски стоит четное число фигур.

Вроде не видно никаких сложностей с тем, чтобы конструировать произвольное положение фигур. Начать, скажем, с ситуации когда они все стоят на чёрной диагонали. Далее, если переставлять каждый раз одновременно две фигуры, так чтобы столбцы они не меняли, а обменивались номерами строк или наоборот, чтобы строки оставались неизменными, а обменивались номерами столбцов, то цвет клетки под фигурой должен либо сохранятся для обеих либо меняться сразу для обеих фигур.

Ну вот, в этой схеме два пункта нуждаются в доказательстве. 1) что начиная с диагональной описанным способом можно получить любую расстановку фигур из тех, которые не противоречат условию. 2) что цвет либо сохраняется либо меняется сразу для двух фигур.

По первому пункту. Начальная конфигурация была выбрана с одной фигурой в каждом столбце и одной в каждой строке. Поэтому, если мы желаем какую-либо фигуру из начальной позиции переставить в произвольное место доски мы всегда можем сделать это в два приёма. Например, сохраняя строку, сначала переставить фигуру в нужный столбец. (Ту фигуру, с которой обнаружится конфликт, как это уже было сказано, переставить на освободившийся столбец) Затем сохраняя столбец, переставить в нужную строку. Теперь одна из горизонталей и одна из вертикалей заняты и их можно исключить из рассмотрения. Это никак не помешает установить каждую из оставшихся фигур в ещё доступные места, причём для каждой следующей фигуры место из оставшихся, не занятых ещё, точно так же может быть выбрано произвольно.

Теперь по второму пункту, о том что каждая такая перестановка либо сохраняет цвет клетки под обеими фигурами, либо меняет на противоположный. Рассмотрим произвольный прямоугольник со сторонами параллельными рядам и столбцам. При увеличении одной из его сторон на одну клетку (из nxm в n+1xm) два угла поменяют цвет на противоположный. Это следует из того, что соседние клетки на доске имеют разный цвет. Квадрат 2х2 ясно, что удовлетворяет условию чётности изменения цвета, если переставлять фигуры по его углам, то количество занятых чёрных клеток меняется чётным образом. Из него по индукции можно получить произвольный прямоугольник, который будет обладать тем же свойством.

[VSam]

2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо.Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?

[ycheff]

109 - максимум, такие числа встречаются через 110 или через 11 лет - между ними 109 или 10 лет.

[VSam]

109 - максимум, такие числа встречаются через 110 или через 11 лет - между ними 109 или 10 лет.

109 - правильный ответ!

[VSam]

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

[ycheff]

Первый должен "выедать дырку" так, чтобы второй не смог своими 5 попытками "съесть ее до края". Тогда (если второй не станет помогать первому) первый всегда зачеркнет 6*9 =54 числа, идущих подряд, тогда как второй не справится со своей задачей (он может зачеркнуть лишь 5*9 =45 чисел идущих подряд). При 54 подряд зачеркнутых числах разница между крайними будем 55 - это минимум при отсутствии помощи второго первому.




Согласно какому принципу расставлены цифры в данном ряду?
8 2 9 0 1 5 7 3 4 6

[VSam]

Первый должен "выедать дырку" так, чтобы второй не смог своими 5 попытками "съесть ее до края". Тогда (если второй не станет помогать первому) первый всегда зачеркнет 6*9 =54 числа, идущих подряд, тогда как второй не справится со своей задачей (он может зачеркнуть лишь 5*9 =45 чисел идущих подряд). При 54 подряд зачеркнутых числах разница между крайними будем 55 - это минимум при отсутствии помощи второго первому.

Допустим, что это так. Пусть первый зачеркнет 2,3,..,55, а второй - 1, 58,59,..,101.

Остались – 56, 57. Разница 1…

[ycheff]

Первый должен придерживать "симметрию выедаемой дырки" относительно средней точки интервала - числа 56, тогда второй не сможет "съесть ее до края". Второй может зачеркнуть 45 числе перед первой попыткой, 36 перед второй, 27 перед третьей и т.д. Эти отрезки + 1 (или больше, если возможно) первый игрок должен ему оставить после каждой своей попытки.
Числа 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 - вычеркиваются в 1 попытке первого игрока. Если второй игрок не вычеркивает числа от краев интервала - 111, 110, 109, 108..., то он "помогает первому".

[metelev_sv]

Согласно какому принципу расставлены цифры в данном ряду?
8 2 9 0 1 5 7 3 4 6

в дв де н о п с т ч ш (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[metelev_sv]

Загадка носит имя Монти Холла (Monty Hall), ведущего старого американского игрового шоу под названием «Давайте заключим сделку» (Let’s make a Deal), в котором в том или ином виде эта ситуация повторялась каждый раз. Сама загадка звучит так: вы участвуете в игре, и ведущий предлагает вам выбрать одну из трёх дверей. За одной из них дорогая машина, главный приз! За другими двумя дверями находятся козы. После того, как вы выбрали дверь случайным образом, ведущий (который, конечно, знает, за какой дверью приз) открывает одну из оставшихся дверей, за который обнаруживается коза. Затем он предлагает вам или остаться у прежней двери, или изменить свой выбор и указать на другую, оставшуюся закрытой. Итак, вы смените дверь или останетесь на месте?

[ycheff]

Не решая задачу в числах, сразу можно сказать, что вероятнее выбор двери с первой козой, а если покажут вторую козу, то имеет смысл поменять выбор (если, конечно, ищем дверь, за которой автомобиль).

[XuMuK]

Как-то смотрел фильм... Вроде назывался "21". Там из студентов набиралась команда, чтобы ехать играть в казино. Все математики... все считать умеют... Так одной из задач для проверки была именно задача Монти Холла. Еще тогда меня этот парадокс заинтересовал. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)