Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[metelev_sv]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Произведение чисел от 1 до 9 даёт один ноль, можно прямо проверить. Умножаем на 10, получаем два нуля. В следующих десятках вплоть до 100 ситуация клонируется. Это следует хотя бы из схемы умножения в столбик. Если последние цифры множителей совпадают, то последняя цифра произведения должна получится той же самой. Поэтому каждый десяток даёт два нуля. И в числе 100 содержится ещё один дополнительный. Поэтому первая сотня даёт 21 ноль. Далее ситуация клонируется вплоть до 1000, которая даёт дополнительный ноль. Итого 211 нулей у меня получилось.

[VSam]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Произведение чисел от 1 до 9 даёт один ноль, можно прямо проверить. Умножаем на 10, получаем два нуля. В следующих десятках вплоть до 100 ситуация клонируется. Это следует хотя бы из схемы умножения в столбик. Если последние цифры множителей совпадают, то последняя цифра произведения должна получится той же самой. Поэтому каждый десяток даёт два нуля. И в числе 100 содержится ещё один дополнительный. Поэтому первая сотня даёт 21 ноль. Далее ситуация клонируется вплоть до 1000, которая даёт дополнительный ноль. Итого 211 нулей у меня получилось.

Близко, но не то...

[metelev_sv]

Близко, но не то...

Точно, 20*50 дадут дополнительный ноль в сотне, итого 22 нуля на каждую сотню, и ещё 200*500 даст дополнительный ноль в тысяче. Итого 222 получается.

[VSam]

Точно, 20*50 дадут дополнительный ноль в сотне, итого 22 нуля на каждую сотню, и ещё 200*500 даст дополнительный ноль в тысяче. Итого 222 получается.

Близко, близко ...

[metelev_sv]

Точно, 20*50 дадут дополнительный ноль в сотне, итого 22 нуля на каждую сотню, и ещё 200*500 даст дополнительный ноль в тысяче. Итого 222 получается.

Близко, близко ...

Даже посчитал "в лоб" и теперь знаю правильный ответ, но почему он такой пока не понимаю. Может к вечеру решится задача (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[XuMuK]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Можно представить в виде:

1000!=A·10^B, где

А - не делится на 10, т.е. при разложении на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Тогда для определения количества нулей нужно определить с какими показателями в произведение 1·2·3...998·999·1000 входят 5 и 2. Наименьший показатель B и будет - количество нулей. А т.к. 5>2, то показатель, с которым 5 входит в 1000! и будет наименьшим. Т.е. определяем показатель 5.

1000/5=200 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5
1000/25=40 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5²
1000/125=8 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5³
1000/625=1,6 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5⁴

Количество нулей: B=200+40+8+1=249

[VSam]

Количество нулей: B=200+40+8+1=249

Да, правильнo!

[mbikola]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Можно представить в виде:

1000!=A·10^B, где

А - не делится на 10, т.е. при разложении на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Тогда для определения количества нулей нужно определить с какими показателями в произведение 1·2·3...998·999·1000 входят 5 и 2. Наименьший показатель B и будет - количество нулей. А т.к. 5>2, то показатель, с которым 5 входит в 1000! и будет наименьшим. Т.е. определяем показатель 5.

1000/5=200 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5
1000/25=40 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5²
1000/125=8 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5³
1000/625=1,6 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5⁴

Количество нулей: B=200+40+8+1=249

И этот человек химией занимается???????????????

(IMG:style_emoticons/default/ai.gif) (IMG:style_emoticons/default/ai.gif) (IMG:style_emoticons/default/ai.gif)

[VSam]

Вася пишет числа в ряд от 1 до 60, одно число за другим: 123...5960.
А затем он стирает 100 цифр из этого ряда так, чтобы оставшиеся цифры,
если их сдвинуть близко друг к другу, составили самое большое из возможных чисел.
Чему равно это число?

[Lord-Aries]

Вася пишет числа в ряд от 1 до 60, одно число за другим: 123...5960.
А затем он стирает 100 цифр из этого ряда так, чтобы оставшиеся цифры,
если их сдвинуть близко друг к другу, составили самое большое из возможных чисел.
Чему равно это число?

100 цифр подряд?

[VSam]

100 цифр подряд?

Нет ...

[Lord-Aries]

тогда все просто 110 циферей, 10 надо оставить

9999985960

[VSam]

тогда все просто 110 циферей, 10 надо оставить

9999985960

Посчитаем количество цифр в ряду.
Однозначных чисел 9, двузначных 60-9=51.
Всего 51*2+9=111 цифр.....

[ycheff]

Тогда вот как: 99999785960

Сначала набираем девяток - последняя от 49, затем берем наибольшую цифру (чтобы хватало разрядов числа - 7), далее 85960 - что осталось.

Вспомнил в чем-то аналогичную задачку:
Написать 2 целых 10-значных числа, составленных из неповторяющихся цифр от 0 до 9, делящиеся на 11 - наименьшее и наибольшее из них.

[Elena]

У меня получилось:
1024375869
9876524130

[metelev_sv]

У меня получилось:
1024375869
9876524130

Лен, так 11 цифр должно быть, на что VSam справедливо указал Лорду два сообщения назад. А потом, первые цифры-то должны быть девятки. Наверное это решение от какой-нибудь другой интересной задачи (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Elena]

Ну я вообще-то решала задачку, предложенную ycheff'ом (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) Если будет интересно, как у меня получился такой ответ, попозже напишу (я ща не из дома пишу просто)

[VSam]

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда,

когда сумма цифр с чередующимися знаками равна 0 или делится на 11

(то есть 1024375869 делится на 11, так как 1-0+2-4+3-7+5-8+6-9 = -11 делится на 11;

9876524130 тоже делится на 11, так как 9-8+7-6+5-2+4-1+3-0 = 11 делится на 11).

[ycheff]

Признак делимости на 11 - это лишь начало решения. Решение примерно такое:
Кроме того важно, что сумма всех цифр числа равна 45, так что 0 и 22 для разности сумм четных и нечетных цифр числа не удастся получить (число 45 нечетное).
Легко показать, что разность +/-33 дает числа, далекие от оптимальных (либо большие цифры лезут в первые разряды для числа, которое должно быть малым, либо малые лезут в первые разряды числа, которое должно быть большим), так что приходится искать числа с разностью +/-11 (одна сумма при этом равна (45+11)/2=28, другая 17).
Минимальное число должно быть по возможности ближе к числу 1023456789. Но уже сохраняя 4 первые цифры (1023...), получим 3 для сумм первых пар цифр, значит суммы для остальных должны быть 25 и 14 (это невозможно, так как 4+5+6=15>14 или 7+8+9=24<25). Приходится 3 поменять с 4 местами (теперь ищем число в виде 1024...). Тогда суммы для первых пар цифр 3 и 4, значит суммы для остальных цифр могут быть 17-3=14 и 28-4=24, что нам в самый раз подходит - 4, 5, 6 идут в нечетные разряды, а 7, 8, 9 - в четные: 1024375869.
Максимальное число должно быть ближе к числу 9876543210. Сохраняя 6 цифр (987654...), получим суммы первых троек цифр 21 и 18 (18>17), это не подходит. 4 заменить на 3 недостаточно, так как сумма будет 17, а нулями оставшиеся цифры быть не могут. Значит 4 заменяем на 2, а в четные разряды попадут 1 и 0 (в нечетные, соответственно 4 и 3). Теперь получается ответ: 9876524130.

[VSam]

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

[ycheff]

Нет, по признаку делимости на 3 из числа 123456789 все время надо вычитать числа, делящиеся на 3. Значит стартовать надо было с числа, делящегося на 3.

[VSam]

Нет, по признаку делимости на 3 из числа 123456789 все время надо вычитать числа, делящиеся на 3. Значит стартовать надо было с числа, делящегося на 3.

(IMG:http://www.sci-lib.net/style_images/ip.boardpr/spacer.gif)
Да, правильно.

[VSam]

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус.
В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию,
и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам.
Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы,
и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д.
Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

[metelev_sv]

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус.
В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию,
и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам.
Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы,
и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д.
Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Да. Каждый раз после деления половину бактерий с одним вирусом можно отсаживать из каждой чашки, при этом ситуация во всех чашках будет одинакова. Тогда получается что вирус каждый раз съедает одну бактерию из начальной колонии и в конце концов съест их всех в своей чашке и каждый другой вирус в своей. Это произойдёт за n минут.

[VSam]

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел.Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2009. Какие числа остались на доске?