Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[ycheff]

Мне кажется, Ваше решение приближенное.
Точное решение не очень сложно. В исходной окружности радиуса R с центром О проводим 2 перпендикулярных друг другу диаметра, рисуем окружность радиуса R/2 на половинке одного из диаметров, проходящую через центр О и касающуюся исходную окружность.
Центр этой окружности О₁ соединяем с концом касательного диаметра (пусть это точка А). Этот отрезок пересекает малую окружность в точке B (О₁В = R/2). Величина АВ - сторона вписанного правильного десятиугольника. Пятиугольник из него получить не проблема.

[Eva]

Мне кажется, Ваше решение приближенное.
Точное решение не очень сложно. В исходной окружности радиуса R с центром О проводим 2 перпендикулярных друг другу диаметра, рисуем окружность радиуса R/2 на половинке одного из диаметров, проходящую через центр О и касающуюся исходную окружность.
Центр этой окружности О₁ соединяем с концом касательного диаметра (пусть это точка А). Этот отрезок пересекает малую окружность в точке B (О₁В = R/2). Величина АВ - сторона вписанного правильного десятиугольника. Пятиугольник из него получить не проблема.

Вполне возможно. Я нашла книгу, в которой есть этот способ. Если будет желание покопаться, могу дать ссылку.)) Книга, кстати, 1904 года.

Сообщение отредактировал Eva - 5.09.2010, 20:08

[Enilta]

Вот еще задачка:

Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани,
являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.

[ycheff]

Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани,
являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.

Рассмотрим грань с максимальным числом сторон, пусть это число равно n. Тогда к этой грани примыкают n других граней, у которых число сторон выбирается в интервале от 3 (треугольник) до n-1. Выбора не хватает для набора разных по числу сторон граней.
Раз нет выбора - будут совпадения.

[Enilta]

Рассмотрим грань с максимальным числом сторон, пусть это число равно n. Тогда к этой грани примыкают n других граней, у которых число сторон выбирается в интервале от 3 (треугольник) до n-1. Выбора не хватает для набора разных по числу сторон граней.
Раз нет выбора - будут совпадения.

Верно! (IMG:style_emoticons/default/bi.gif) Только надо учесть, что число сторон у смежных граней вполне может варьировать от 3 до n, что на возможность приложения принципа Дирихле, конечно, не повлияет. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[ycheff]

от 3 до n

При числе сторон n будет совпадение с рассматриваемой гранью (n - уже занято), так что это исключается. Должно быть не более n-1.

[Enilta]

так что это исключается.

Вместе с правильными многогранниками, для которых решение тривиально.

[СЛАУ]

Энилта и Ычев, спасибо вам, Энилте за задачку, Ычеву за решение! Задачка пресимпатичная. Меня, конечно, всему этому учили: и принципу Дирихле, и совету "Рассмотри крайнее" (либо наименьшее, либо наибольшее), но я чего-т не справилась, не решила.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 1.02.2012, 14:11

[ycheff]

Есть такая компьютерная игра - "Червы". Там тот, кто набрал 100 и более очков - проиграл.
1. Возможна ли ситуация, когда все проиграли, то есть набрали 100 и более очков?
2. Возможна ли ситуация, когда все проиграли, но с одинаковым количеством очков?

[Const]

Есть такая компьютерная игра - "Червы".

Оно бы ещё правила узнать…

[ycheff]

Оно бы ещё правила узнать…

Игра есть в каждой винде, я думал, что правила широко известны.
Напоминать их - почти что всё равно, что пересказывать библию: "Авраам родил Исаака..."
Вкратце можно сказать, что:
- играют четверо,
- берут взятки, от которых обычно лучше избавляться - каждая взятая черва - штрафное очко (всего 13 червей), взятая дама пик - 13 штрафных очков.
- итого в розыгрыше 26 очков, но если взять все штрафные карты, то будет прокручено "динамо" - штраф всем, кроме победителя - 26 очков.
- окончание игры - если кто-то набрал 100 или более очков.
В правилах не оговорена ситуация, когда условие окончания выполнено всеми игроками - то ли ничья, то ли победа того, кто из игроков набрал меньше. Вопросы возникли именно в связи с этими недоговоренностями в правилах.

[Const]

Игра есть в каждой винде, я думал, что правила широко известны.

Не у каждого есть винда только…

Теперь по исходным вопросам: нет оба раза.
Но если сформулировать не "все", а "трое из четырёх", то да на оба вопроса.
По-моему, так.

[ycheff]

2. Возможна ли ситуация, когда все проиграли, но с одинаковым количеством очков?

Нет. Они должны набрать по 104 очка (минимальное число, начиная от 100, кратное 26), то есть, перед последним розыгрышем трое, даже в случае 99 очков, должны набрать по 5 очков (итого 15). А тот, кто получит даму пик, унесет 13, оставляя всего 26-13 = 13 очков, которых на всех не хватит.


А вот на первый вопрос я пока ответа не определил, но, скорее всего - да.

[Cerberuser]

Не понял, откуда это "кратное 26". Кратное 13 же. Сумма очков всех четверых должна быть кратна 26. Но логика от этого не меняется, да.

[ycheff]

Не понял, откуда это "кратное 26"

итого в розыгрыше 26 очков, но если взять все штрафные карты, то будет прокручено "динамо" - штраф всем, кроме победителя - 26 очков

[СЛАУ]

Ычев, Цербер прав. Если все игроки закончили игру с равными штрафными очками, то сумма всех очков всех 4-х игроков делится на 4. ЕЩЁ в силу правил сумма всех очков всех игроков делится на 26 (потому что в каждом туре сумма очков всех 4-х игроков делится на 26). Число, которое делится и на 4, и на 26, обязательно делится на НОК(4; 26)=2*26=52. Раз сумма всех очков всех 4-х игроков делится на 52, то штрафные очки КАЖДОГО игрока делятся на 52:4=13. Всё.

А это:

итого в розыгрыше 26 очков, но если взять все штрафные карты, то будет прокручено "динамо" - штраф всем, кроме победителя - 26 очков

ничего не значит. Например, 26+3 не делится на 26. То есть если 1 раз прокрутилось "динамо" и в силу него человек получил 26 очков, а в другой раз этот же человек взял 3 червы, то сумма его очков не делится на 26.

Вот контрпример, показывающий, что из правил начисления очков и из условия равенства сумм очков следует делимость только на 13, а не на 26: при очках в первом и втором туре соответственно
13; 0; 6; 7
0; 13; 7; 6
суммы очков у всех одинаковые, 13, но они не делятся на 26, они делятся только на 13.

Здоровская задачка, кстати, спасибо.

Задачку поняла, игру "Червы" - нет. Хоть у меня и Винда.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 9.08.2014, 18:39

[ycheff]

Ничё не понял.
26 очков в розыгрыше, они будут поделены между всеми игроками. И так розыгрыш за розыгрышем.
Поэтому сумма очков (всех игроков) после каждого розыгрыша кратна этому числу.
Если будет "динамо", то будут разыграны 26*3 = 78 очков, что тоже кратно 26 - это важно, а делимость не имеет никакого значения.
Поэтому, как бы игра не окончилась, сумма очков будет делиться на 26.

Ещё один подход к задаче - через число розыгрышей - для теоретической игры, когда у всех по 104 очка в конце игры - число розыгрышей - 16, если динамо не было. Если розыгрышей 15, то сумма всех очков равна 390, так что перед последней игрой теоретически возможна ничейная ситуация с 95 очками у каждого игрока.
Нет, я ошибся - поделил 390 на 4 и получил 95, получится 97.5, так что ничьей перед последним туром не будет.
Кстати, если перед последним туром у всех будет по 97 - 98 очков, то - ответ на 1 вопрос - да.

[СЛАУ]

Ничё не понял.
26 очков в розыгрыше, они будут поделены между всеми игроками. И так розыгрыш за розыгрышем.
Поэтому сумма очков (всех игроков) после каждого розыгрыша кратна этому числу.
Если будет "динамо", то будут разыграны 26*3 = 78 очков, что тоже кратно 26 - это важно, а делимость не имеет никакого значения.

Конечно, сумма всех очков всех ЧЕТЫРЁХ игроков будет делиться на 26. Больше того, она будет делиться на 52. А вот сумма очков ОДНОГО игрока будет делиться только на 13 гарантированно. Мой контрпример перечитайте.

[Const]

Встретилось равенство прикольное. Страшное на первый взгляд, но совершенно примитивное по сути (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
(IMG:http://mathurl.com/naut9t8.png)

[ycheff]

сумма очков ОДНОГО игрока будет делиться только на 13 гарантированно.

Совсем не обязательно. Игрок может набирать любые суммы от 0 до 26 в каждом розыгрыше, и его конечные суммы могут быть разными.

[СЛАУ]

Совсем не обязательно. Игрок может набирать любые суммы от 0 до 26 в каждом розыгрыше, и его конечные суммы могут быть разными.

Его конечные суммы могут и не делиться на 13, если нет условия, что все 4 игрока набрали равные суммы. А с этим условием - гарантированно сумма очков КАЖДОГО игрока делится на 13. Я выше это строго доказала. Ычев, Вам лень разбираться, но я знаю, что написала.

Ушла спать.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 10.08.2014, 10:27

[ycheff]

Вам лень разбираться, но я знаю, что написала.

Понял, в чем дело - в числе розыгрышей для общей ничьей - четном или нечетном. При четном - кратно 26, при нечетном - 13.

[СЛАУ]

Извиняюсь за своё предыдущее сообщение. Кажется, оно было слишком нервным, и немотивированно нервным в рамках беседы на форуме. Но меня как всегда вечером выставляли из комнаты с компьютером, и это было так досадно-некстати, и пришлось отвечать в ускоренном режиме. А в ускоренном режиме я соображаю хреново.

Понял, в чем дело - в числе розыгрышей для общей ничьей - четном или нечетном. При четном - кратно 26, при нечетном - 13.

Ваша версия не верна. И при чётном числе розыгрышей может быть кратность только 13-ти, без кратности 26-ти. Доказательство - опять мой контрпример, приведённый выше. В этом контрпримере в первом раунде первый игрок набрал 13 очков, второй игрок набрал 0 очков, третий игрок набрал 6 очков, четвёртый игрок набрал 7 очков. В этом же контрпримере во втором раунде первый игрок набрал 0 очков, второй игрок набрал 13 очков, третий игрок набрал 7 очков, четвёртый игрок набрал 6 очков. Коротко это можно записать "таблицей":

13; 0; 6; 7
0; 13; 7; 6

Тут число раундов чётное (2), суммы очков игроков за 2 раунда равны друг другу (каждая равна 13), но эти суммы делятся только на 13 и не делятся на 26.

[ycheff]

Да, я поспешил с выводами. Число розыгрышей должно быть кратно 4, тогда результат каждого при ничьей делится на 26, если кратно 2, то при ничьей результат каждого делится на 13, а при нечетном числе розыгрышей ничья невозможна.

[СЛАУ]

Пусть n - число раундов с "динамо" в результате, m - число раундов без "динамо" и в результате этих n+m раундов получилась общая ничья. Тогда сумма всех очков всех 4-х игроков Ф=26(3n+m), с одной стороны, и Ф=52k, где k - целое, с другой стороны. Отсюда, приравняв правые части этих двух равенств друг к другу и поделив на 26, получим
3n+m=2k.
Значит, число 3n+m чётное.

Чётность чисел 3n+m и n+m всегда одинаковая (то есть всегда либо n+m и 3n+m оба чётны, либо оба нечётны). Поэтому, действительно, общая ничья возможна только при чётном количестве раундов.

С делимостью на 26 суммы очков каждого игрока и делимостью на 4 числа туров всё не так просто, потому что делимости чисел n+m и 3n+m на 4 не всегда одновременны. При чётных n и m число n+m делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число 3n+m. А вот при нечётных n и m всё шиворот-навыворот, n+m делится на 4 тогда и только тогда, когда 3n+m на 4 НЕ делится.

Но если n делится на 4 и m делится на 4, то, конечно, сумма очков каждого игрока делится на 26.

У меня из этого обсуждения образовалась куча мелких задачек для репетиторства. )

Сообщение отредактировал СЛАУ - 10.08.2014, 12:48