Интегрирование дискретного уравнения Шредингера для цепочки, Как проинтегрировать дискретное уравнение Шредингера для цепочки Опции

[korson]

Описание проблемы
Изучая статью, обнаружил, что не понимаю происхождение графика 8а.

А именно, как авторы строят psi^2, задавая начальные значения X_1, X_2.

Зная X_1, X_2, по идее, мы можем сосчитать по формуле (4) X_(n+1)

Вопрос
Как авторы возвращаются к значениям psi_n, определённым в формуле (3)
(они ведь так строят psi^2)?

[korson]

Любопытно
Подбором удалось получить график квадрата плотности вероятности:

Задача
Численно интегрировалось дискретное уравнение Шредингера с начальными
условиями: psi_1 = 0, psi_2 = 0.005, v = 0.1, e = 1 + sqrt(1.01) ~= 2.005.
Фрагмент кода (m-файла)

Код

for j = 2 : N - 1
    u(j + 1) = (e - v*rho(j)) * u(j) - u(j - 1);
end; % for

Здесь, rho(j) - элемент последовательности Морса-Туэ. Другими словами,
для N = 8, имеем rho = [1 -1 -1 1 -1 1 1 -1]

[korson]

Продолжая дискуссию, пришёл к выводу, что необходимо решать
краевую задачу для уравнения (3) статьи так, чтобы в краевых точках
волновая функция равнялась нулю.
Увиденный здесь код численного интегрирования для одномерного стационарного уравнения Шрёдингера
был модифицирован (впрочем, не сильно) для Морс-Туевой цепочки:

CODE

clear all; close all; clc

%Размер матрицы
N = 256;
%Число собственных значений
Roots = 2;
%Шаг дискретизации
step = 1;
%Сетка
s=step:N;
%% Потенциальная энергия
% v = mtseq(log2(N));

%Трёхдиагональная матрица
A=zeros(N);
for i=1:N
if i == N
A(i,i)= +1 + sqrt(2) - v(i)*step*step;
else
A(i,i+1)=-1;
A(i,i)= +1 + sqrt(2) - v(i)*step*step;
A(i+1,i)=-1;
end
end

%Вычисление собственных значений и собственных векторов
opts.isreal = 1;
opts.v0 = ones(N,1);
[psi,e]=eigs(A,Roots,'sm');

figure('Name','Fi');
plot(s,psi);
legend_=(num2cell(1:size(psi,2)));
for i=1:numel(legend_)
legend_{i} = num2str(legend_{i});
end
legend(legend_{:});

%% Решение однородной системы
[U,D,V] = svd(A,0) ;
figure('Name','Fi');
plot(1:N,V(:,end))

Другими словами, решалась задача на собственные значения для статического уравнения Шрёдингера с потенциалом Морса-Туэ,
но с почти нулевыми собственными числами. Фактически, это эквивалентно решению однородной системы линейных уравнений.
Получился следующий график волновых функций, соответствующих двум (почти нулевым) собственным значениям
(1.7433e-004; 4.3813e-005):

График волновых функций для трёх собственных значений
(3.9675e-004; 1.7433e-004; 4.3813e-005):


Волновые функции граничным условиям удовлетворяют, "структура" (1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 ...) последовательности Морса-Туэ проглядывается,
однако, также имеет место некая синусоидальная модуляция, в отличие от рисунка 8 статьи. Почему?

Сообщение отредактировал korson - 25.09.2012, 7:31