Раскрашивая мир в яркие цвета Опции

[СЛАУ]

Только не удаляйте эту тему и не переносите в другой раздел из-за названия) Я про раскрашивание в математическом смысле.

Есть одна красивая задача. Называется проблема четырёх красок. Вот статья о ней в Википедии: ВОТ. Одна из формулировок этой задачи:

Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Я подумала, что понятия, используемые в этой формулировке проблемы четырёх красок, можно перенести с плоскости/поверхности в пространство. Как призывал Шарыгин, выйти в пространство. При этом аналог проблемы четырёх красок в пространстве - простенькая задача на однократное напряжение воображения. Аналог может быть примерно таким:

Какого минимального количества цветов достаточно для правильной раскраски любой пространственной карты, если под правильной раскраской понимается такая раскраска, при которой любые 2 области, имеющие общий двумерный участок границы, раскрашены в разные цвета.

Ответ на такую задачу: минимума нет. Какое бы большое натуральное число n мы ни взяли, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо как минимум n цветов. Более того, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо бесконечное число цветов. Я могу это доказать и может быть сделаю позже, но это довольно просто (только нужно много букАФФ) и это не самое интересное.

Хотя пространственный аналог проблемы четырёх красок - не проблема, а так, пустячок, это не значит, что перенесение понятия "правильная раскраска" с плоскости/поверхности в пространство не даёт ничего интересного. Я думаю, оно даёт кучу интересных задач. Оно даёт задачи вида "Определите, какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски такой-то конкретной пространственной карты". Оно даёт и другие задачи, например: "Какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски пространственной карты, если эта карта - всё обычное трёхмерное евклидово пространство, разделённое на равные друг другу кубы (не обязательно расположенные между собой так просто, как в простейшей кубической карте, определение простейшей кубической карты чуть ниже, в следующем абзаце).

Берём обыкновенное трёхмерное евклидово пространство и декартову систему координат в нём. Рассматриваем плоскости x=i, y=j, z=k, где i, j k пробегают всё множество целых чисел. Эти плоскости делят пространство на кубы с ребром 1. Такую пространственную карту (её я и предлагаю называть простейшей кубической картой) можно правильно раскрасить двумя цветами. Это такая... пространственно-шахматная раскраска. Представление о ней даёт уникуб Никитиных (см. фото).



При другом взаимном расположении кубиков могут получаться пространственные карты, для правильной раскраски которых необходимы и достаточны 3, 4, 5 и 6 цветов.

Дальше...
Есть такой многогранник - звёздчатый ромбододекаэдр. Существует головоломка, имеющая вид звёздчатого ромбододекаэдра. Несколько месяцев назад в продаже появился ластик, сделанный в форме этой головоломки. Вот его фото:



Как видите, он состоит из шести деталек разного цвета, вот они:



При этом известно, что звёздчатыми ромбододекаэдрами можно заполнить всё пространство без зазоров. Это было искушение. Я накупила много этих ластиков, разобрала их и собрала из деталек одноцветные звёздчатые ромбододекаэдры. Вот например голубенький:



С этими звёздчатыми ромбододекаэдрами я стала делать начальные этапы заполнения пространства, но так, чтобы получилась правильная раскраска пространства, разбитого на звёздчатые ромбододекаэдры. Оказалось, что для правильной раскраски такой пространственной карты не достаточно трёх цветов и достаточно четырёх. Располагала я ластики так. Сначала первый уровень - ластики белого и голубого цветов, 9 штук, раскраска в шахматном порядке (фото:




). Второй уровень - ластики розового и зелёного цвета, 4 штуки, раскраска в шахматном порядке (фото:



). Они ставятся на 9 ластиков первого уровня. Третий уровень заполненного звёздчатыми ромбододекаэдрами пространства повторяет первый, только ластик я поставила всего один, голубой, так как выкладывала ластики сужающейся кверху пирамидой (см. фото:



).

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 9.07.2012, 16:46

[СЛАУ]

Вопрос о раскраске пространства, разбитого на звёздчатые ромбододекаэдры, решён. Рассмотрим другой вопрос. Головоломка звёздчатый ромбододекаэдр состоит из шести одинаковых деталек (третье фото этой темы). Будем для удобства здесь называть эти детальки корабликами (некоторое сходство есть). Раз пространство можно замостить звёздчатыми ромбододекаэдрами, а звёздчатые ромбододекаэдры состоят из корабликов, значит, пространство можно замостить корабликами. Интересно рассмотреть пространственную карту, в которой странами являются кораблики – скольки разных цветов необходимо и достаточно для правильной раскраски такой карты. Ответ: трёх. Какой должна быть эта раскраска, ясно из следующих двух фото:





Сообщение отредактировал СЛАУ - 30.12.2012, 13:04