Мысль, которой стоит поделиться Опции

[СЛАУ]

Итак, название темы "Мысль, которой стоит поделиться". Оставляя в стороне вопрос, СКОЛЬКО стоит, скажу лишь, что эта тема - общефорумная копилка для мыслей, которые вы находите интересными, нетривиальными, оригинальными, забавными, занятными и тэ пэ, но которые просто неформат для других разделов и тем форума: для раздела "Просто юмор", для темы "Каламбур из песни" и тэ дэ.

Символом этой темы могла бы быть фарфоровая сова с прорезью наверху - по аналогии со свиньёй-копилкой для денег. Ну или группа горящих лампочек - ведь в диснеевских мультиках идея изображается вспыхнувшей лампочкой.

_________________
Собственно по сабжу. Вклад в копилку номер РАЗ: идея про антипода Кащея Бессмертного. Предположим, Кащей Бессмертный - это тот, кто никогда не умрёт. Преположим ещё конкретнее, что Кащей Бессмертный - это существо, живущее в промежуток времени от некорого момента времени t=Т₁ до плюс бесконечности. Тогда в некотором смысле антиподом к нему будет Кащей-без-дня-рождения, существо, живущее в промежуток времени от минус бесконечности до некоторого момента времени t=Т₂. У Кащея Бессмертного есть день рождения, но нет смерти. у Кащея-без-дня-рождения есть смерть, но нет дня рождения.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.07.2011, 16:39

[Cerberuser]

А если включить туда же признак делимости на 11₁₀ и, скажем, на 4? То бишь: делится на 11₁₀ = последние две цифры образуют число, делящееся на 11₁₀; делится на 4 - знакопеременная сумма цифр делится на 4? Надо подумать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[СЛАУ]

А если включить туда же признак делимости на 11₁₀ и, скажем, на 4? То бишь: делится на 11₁₀ = последние две цифры образуют число, делящееся на 11₁₀; делится на 4 - знакопеременная сумма цифр делится на 4? Надо подумать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Может быть, может быть. Но постепенно. Дайте отдышаться от предыдущих вычислений. Пока - обоснование моих предыдущих заявлений:

У т в е р ж д е н и е 1.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признакам делимости на 2, 5, 10 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на m. Если m не делитель числа p, то этот признак делимости несправедлив.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m - произвольный делитель числа p и пусть А=
_____________
a_na_n-1... a₂a₁a₀ - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p. Тогда А=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₂p²+a₁p+a₀=p(a_np^n-1+a_n-1p^n-2+...+a₂p+a₁)+a₀. Отсюда, пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем А=а₀ (mod m). Значит, А даёт тот же остаток при делении на m, что и а₀, откуда и следует то, что число А и его последняя цифра а₀ делятся или не делятся на m одновременно, то есть что справедлив признак делимости из формулировки доказываемого утверждения.

Теперь пусть m - не делитель числа p. Тогда контрпримером, доказывающим, что в этом случае не всегда число A и его последняя цифра в системе счисления с основанием p делятся или не делятся на m одновременно, будет число А=10_p=1*p+0=p, так как 0 делится на m, а p не делится на m. ВСЁ ДОКАЗАНО.

У т в е р ж д е н и е 2.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p-1 и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признакам делимости на 3, 9 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p-1, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на m. Если m не делитель числа p-1, то этот признак делимости несправедлив.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m - делитель числа p-1. Тогда p-1=km, p=km+1. Значит, остаток от деления p на m равен 1. Возводя равенство p=km+1 в степени 2, 3, 4, ... и применяя бином Ньютона, получим, что p в любой из этих степеней равен tm+1, где t - некоторое целое число, для разных степеней разное. Значит, остаток от деления этих степеней p на m равен 1. Пусть А=
_____________
a_na_n-1... a₂a₁a₀ - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p. Тогда А=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₂p²+a₁p+a₀. Отсюда, пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем А=a_n+a_n-1+...+a₂+a₁+a₀ (mod m). Значит, число А даёт при делении на m тот же остаток, что и сумма его цифр. Следовательно, число А и сумма его цифр делятся или не делятся на m одновременно. Значит, для m верен признак делимости из формулировки доказываемого утверждения.

Теперь пусть m – не делитель числа p-1. На этот случай возьмём в качестве контрпримера число A=10_p=1*p+0=p. Сумма цифр этого числа в системе счисления с основанием p равна а=1+0=1. Разность А-а равна p-1 и она по предположенному не делится на m. Значит, это число А и сумма его цифр не могут делиться на m одновременно. Следовательно, признак делимости из условия доказываемого утверждения в данном случае несправедлив. ВСЁ ДОКАЗАНО.

У т в е р ж д е н и е 3.
Признаки делимости
число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно),
оба одновременно, верны в системах счисления с основаниями 9i, где i - натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 1.

У т в е р ж д е н и е 4.
Признаки делимости
число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно),
все 3 одновременно, верны в системах счисления с основаниями 10₁₀j+1, где j – натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 2.

У т в е р ж д е н и е 5.

"Обратная математика", в которой верны признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно),

все 5 одновременно, имеет место в системах счисления с основаниями 90₁₀k+81₁₀, где k=0, 1, 2, 3, …, и только в них.

Это следует из утверждений 3 и 4.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 19.08.2012, 15:02

[СЛАУ]

Мы рассмотрели все признаки делимости, входящие в обязательную школьную программу. По заказу Цербера продвинемся ещё чуть дальше и рассмотрим и 2 факультативных признака делимости: на 4 и на 11₁₀.

У т в е р ж д е н и е 6.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p+1 и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признаку делимости на 11₁₀ в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p+1, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на m. Если m не делитель числа p+1, то этот признак делимости несправедлив.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО схоже с доказательствами утверждений 1 и 2, поэтому не будем его приводить.

У т в е р ж д е н и е 7.
Признак делимости
число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4
верен в системах счисления с основаниями 4i-1, где i - натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 6.

У т в е р ж д е н и е 8.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на делится на 4,

все 6 одновременно, имеют место в системах счисления с основаниями 180₁₀j+171₁₀, где j=0, 1, 2, 3, …, и только в них.

Покажем, как мы нашли последнюю формулу.
Любое целое число можно представить в одном из следующих четырёх видов:
4j,
4j+1,
4j+2,
4j+3.
Подставляем по очереди эти выражения в выражение из утверждения 5 вместо k:
90*4j+81=360j+81,
90(4j+1)+81=360j+171,
90(4j+2)+81=360j+261,
90(4j+3)+81=360j+351.
Полученные выражения при делении на 4 дают остатки 1, 3, 1, 3 соответственно. Нас интересуют те выражения, что при делении на 4 дают остаток 3. Значения этих 2-х выражений можно описать одной формулой
180j+171,
которая и значится в утверждении 8.

Дальнейшее решение задачи потребовало бы большого количества вычислений, поэтому я оставлю задачу недопросчитанной. При этом теперь очевидно, что

У т в е р ж д е н и е 9.
Признак делимости
число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀
верен в системах счисления с основаниями 121₁₀k, где k - натуральное число, и только в них.

У т в е р ж д е н и е 10.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4;

число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀,

все 7 одновременно, имеют место в системах счисления с такими основаниями k, которые делятся на 121₁₀ и при этом при делении на 180₁₀ дают остаток 171₁₀.

ВСЁ.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 23.08.2012, 14:17

[СЛАУ]

*Продолжение предыдущего поста*
Что-то рано я вчера сдалась и решила не просчитывать "сильно вывернутую наизнанку математику" из утверждения 10. Передумала я потом и просчитала её. Вот:

У т в е р ж д е н и е 10'.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4;

число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀,

все 7 одновременно, имеют место в системах счисления с основаниями 21780₁₀i+20691₁₀, где i - натуральное число или 0, и только в них.

ПРОВЕРКА. Для того, чтобы были верны "неправильные" признаки делимости на 3 и 9, нужно, чтобы основание системы счисления делилось на 3 и 9 - это выполняется. Для того, чтобы были справедливы "неправильные" признаки делимости на 2, 5 и 10₁₀, нужно, чтобы величина, на единицу меньшая основания системы счисления, делилась на 2, 5 и 10₁₀ - это выполняется. Для того, чтобы был справедлив "неправильный" признак делимости на 4, нужно, чтобы величина, на единицу большая основания системы счисления, делилась на 4 - это выполняется. Для того, чтобы был верен "неправильный" признак делимости на 11₁₀, нужно, чтобы основание системы счисления делилось на 121₁₀ - это тоже выполняется. Проверка сошлась.
Вот теперь, кажется, всё.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 5:46

[Cerberuser]

Ого! Вроде бы задача не особо осмысленная, но то, что вы ей занялись... честно, очень впечатлён всем этим. А главное, насколько после всего этого выглядит естественным, что мы работаем в десятичной системе: ведь даже небольшое "выворачивание наизнанку" очень сильно увеличивает основание системы, ну а если полностью... а в десятичной как раз много простых, красивых и полезных на практике признаков достаточно много (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[СЛАУ]

Ну... я не думаю, что десятичная система счисления лучшая с точки зрения признаков делимости. Например, в двенадцатиричной системе счисления, системе счисления с основанием p=12₁₀, дела обстоят так. По последней цифре можно определить делимость числа на 2, 3, 4, 6, 12₁₀ (потому что это делители числа p); по сумме цифр можно определить делимость на 11₁₀ (потому что это делитель числа p-1); по знакочередующейся сумме цифр можно определить делимость на 13₁₀ (потому что это делитель числа p+1); по последним двум цифрам можно определить делимость на 8, 9, 16₁₀, 18₁₀, 24₁₀, 36₁₀, 48₁₀, 72₁₀, 144₁₀ (потому что это делители числа p^2). Хороший конкурент десятичной системе счисления. Просто у людей 10 пальцев на руках...

А такое большое основание системы счисления в последнем утверждении получилось потому, что мы искали систему счисления со строго определённым сочетанием признаков делимости, довольно искусственным. Мы хотели, чтобы "всё было по-нашему", в точности как мы заказали, а за это всегда надо платить.

Задача да, чисто юмористическая. Спасибо за поддержание беседы. Благодаря тому, что я писала эти посты и решала Вашу задачу "ещё большего выворачивания математики наизнанку", я лучше поняла некоторые вещи в математике.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 14:32

[Cerberuser]

Перечитал и понял, что не улавливаю один момент:

При этом теперь очевидно, что

У т в е р ж д е н и е 9.
Признак делимости
число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀
верен в системах счисления с основаниями 121₁₀k, где k - натуральное число, и только в них.

По идее, если верен такой признак делимости на p в системе с основанием q, то 100_q=q^2 должно делиться на p. Соответственно, получается не 121₁₀k, а 11₁₀k (т.к. корень из 11 - иррациональное число, то q^2 делится на 11 эквивалентно тому, что q делится на 11).

[СЛАУ]

не 121₁₀k, а 11₁₀k

Точно-точно. Прикидывала в уме и поэтому ошиблась. Причём когда основание системы счисления 11₁₀k, то для определения, делится ли число на 11₁₀, достаточно ОДНОЙ ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЫ, необходимости в предпоследней цифре нет. И получается, что признаки делимости на 4 и на 11₁₀ совсем красиво и чисто поменять местами нельзя.
Выходит, до утверждения 9 (исключительно) у меня всё правильно, а утверждения 9, 10 и 10' ошибочны. Ну, остановимся на утверждениях 1-8. Получится неполное, как бы незаконченное выворачивание наизнанку. Этакий парадокс в квадрате. :-)

Никогда не говори "Я ошибся". Скажи: "Надо же, как интересно получилось!" -
анекдот, который когда-то постил, кажется, Нинат.

На самом деле я извиняюсь. (IMG:style_emoticons/default/skonfuzen.gif)

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 17:51

[researcher11]

Американцы никогда не поймут одного русского ответа: "да нет наверное..."

[СЛАУ]

Американцы никогда не поймут одного русского ответа: "да нет наверное..."

Для того, чтобы понять этот русский ответ, американцам нужно для начала понять, "наверное" - это "гарантирую на 100%" или "решусь предположить, но не уверен(а), могу ошибаться".

[researcher11]

Деньги в кармане — ещё не крылья, но походку меняют…

[researcher11]

Секрет безопасного вождения - представьте, что права вы забыли дома...

[ycheff]

Ничто так не способствует развитию интернета, как деградация телевидения.

[mikhail]

Ночью есть вредно, на утро ничего не остается!

[researcher11]

Собираюсь во вторник на исповедь. За два года столько грехов накопилось - приятно вспомнить...

[Партизан]

Женщины, удивительные и противоречивые создания. Кто еще мог бы так качественно посеять хаос в доме да еще и под знаменем порядка?

[researcher11]

Алкоголь убивает нервные клетки. Остаются только спокойные...

[ycheff]

Теперь у меня за плечами - огромный жизненный опыт... А ведь раньше там были крылья...

[Нитти]

Теперь у меня за плечами - огромный жизненный опыт... А ведь раньше там были крылья...

Такова жизнь. Причем, если даже намеренно не копить за плечами жизненный опыт, то крылья... всё равно куда-то деваются (IMG:style_emoticons/default/plach2.gif)

[mikhail]

Жизнь подобна движению собак в упряжке: если ты не лидер, то пейзаж перед тобой никогда не изменится.

[researcher11]

Если вы считаете, что неудачно вышли на фотографии, то посмотрите на нее еще раз лет через десять - ваше мнение обязательно изменится!

[researcher11]

Душа требует шампанского и ананасов! А организм – водки и огурчиков…

[ycheff]

Партия сказала "надо", комсомол ответил "есть".
Все закончилось, когда партия сказала "не надо", а комсомол ответил "нет".

[СЛАУ]

Вот говорят: гениальные идеи, изобретения не придумывают, а получают готовыми из некого мира идей. Мне представилось нечто приблизительно на эту тему. Представим себе, что человеческий мозг действительно, да, не столько прибор для производства мыслей, сколько прибор для приёма идей, вроде радио, и для передачи информации. И представим себе, что для каждого человека на Земле верно следующее… Есть он, человек, с черепушкой-приёмником-передатчиком, а есть в неком идеальном мире его личное идеальное Я. И все сколько-нибудь сложные мысли человека – на самом деле мысли этого идеального Я, присланные в черепушку как в приёмник. При этом идеальное Я никогда не ошибается. Ну, на то оно и идеальное. Оно просто не может ошибаться. Человек допускает ошибки, но причины ошибок чаще всего заключаются в плохом приёме сигналов черепушкой как приёмником мыслей идеального Я.

Идеальное Я каждого человека – гений по понятиям нашего мира, причём во всех известных областях. Но черепушки людей как приёмники могут плохо ловить какие-либо виды мыслей, и вот результат: кому-то из людей не даётся математика, кто-то из людей не может писать стихи. На самом-то деле идеальное Я каждого из этих людей способно решать сложнейшие задачи и писать совершенные поэмы. Просто у одного человека черепушка как приёмник плохо ловит именно мысли о логических построениях, у другого – стихотворные мыслестроки.

Но вообще-то в описываемом мире плохой приём сигналов черепушками – не единственная проблема, приводящая к ошибкам. Есть ещё более неприятная проблема. Идеальное Я каждого человека получает инфу о происходящем на Земле только через черепушку «своего» человека, тут черепушка работает как передатчик, и если передача инфы некачественная, то идеальное Я неправильно оценивает обстановку, принимает неправильные для реального мира решения, и отсюда тоже идут ошибки. Причём решения идеального Я в некотором смысле и тогда безошибочны. А именно: они безошибочны для того несуществующего мира, который «рисует» путаник плохой передатчик информации. Отсюда – межнациональная ненависть, маньяки.

Все идеальные Я идентичны, как атомы (одного и того же изотопа одного и того же элемента, разумеется), и идеальные Я не общаются между собой напрямую в своём идеальном мире, по крайней мере пока играют в игру «жизнь на Земле», по крайней мере на тему этой игры. Но возможно, когда-нибудь игра закончится, и идеальные Я всех людей Земли стянут со своих голов (или что там у них) шлемы (или некие их аналоги), позволявшие поддерживать связь со «своими» людьми и как мальчишки по завершении компьютерной игры начнут обсуждать перепитии этой игры.

И идеальное Я Дэвида Гильберта хлопнет по плечу идеальное Я Гитлера и скажет нечто в духе: «Ну тебе и не повезло с передатчиком. Садись, сейчас я нарисую тебе 3 схемки и ты поймёшь, где у тебя глючила система и почему ты всю игру палил не в ту точку».

[Cerberuser]

Первая ассоциация:

Знаешь, а ведь вполне может быть, что ты - обыкновенный овощ и тебя давным-давно благополyчно сожpало какое-то тpавоядное чyдовище, желyдочный сок котоpого способен вызывать пpавдоподобные галлюцинации y пеpеваpиваемой пищи, так что ты всего лишь наслаждаешься сокpyшительной иллюзией своей замечательной, интеpесной жизни напоследок... Тебе нpавится твоя иллюзия?

Макс Фрай, не помню из какой именно книги.