Мысль, которой стоит поделиться Опции

[mikhail]

Что-то врут эти сказки. Если тырить одежду у купающихся девушек, они потом говорят много всего, но только не "выходи, милым другом будешь"

[Cerberuser]

Если ты на диете, помни золотое правило: "Хочешь жрать - жри яблоко.
Не хочешь яблоко - не хочешь жрать".

Для такой плодожорки, как я (в нашей семье два кило яблок могут кончиться за день!) это верно и безо всякой диеты (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Зайти в магазин за хлебом, потратить 700 рублей и забыть купить хлеба может только женщина!

В который раз убеждаюсь, что я женщина! (IMG:style_emoticons/default/total_sc.gif)

[mikhail]

Греческий салат, простоявший с неделю в холодильнике не портится, а становится античным.

[СЛАУ]

Немного не в сезон, но ладно:

Наступила весна. И всем нам пришёл ВЕСНЕЦ.

[СЛАУ]

Человек с маленьким лексическим запасом - это человек, не понимающий обвинения в маленьком лексическом запасе (в связи с незнанием этого выражения).

[researcher11]

Недостаточно просто взять от жизни всё. Надо еще вовремя перевести всё это в Лондон.

[mikhail]

Велика Россия, а машину поставить негде.

[mikhail]

Когда я ем — я глух и нем. Когда я пью — я гораздо коммуникабельней.

[researcher11]

Никогда не бросайте что-либо в мусоропровод, держа в той же руке ключи от квартиры.

[researcher11]

Затевая ссору с женой, подумайте хорошенько - Вам минут через 10-15 надоест ругаться, а ей - нет!

[researcher11]

Женское "Я буду готова через 15 минут!" равносильно мужскому "Я буду дома через 15 минут!"

[СЛАУ]

Поймала себя на ощущении, что есть всё-таки что-то неправильное в том, что в шестиричной системе счисления нет цифры 6, в семиричной цифры 7 и тэ пэ. Как в какой-нибудь, например, вымышленной стране с названием Страна Доброты, в которой есть очень много всего, самого разного, в том числе и хорошего, а как раз ИМЕННО доброты-то и нет.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 16.08.2012, 9:37

[Cerberuser]

СЛАУ, в Стране Доброты нет пустоты (т.е. нуля), так что аналогия, ИМХО, не подходит (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[СЛАУ]

Подумала такую фразу, почти гетерограмму: "Ноябрь... но я - бррррррррр" (в смысле - но я мёрзну).

[СЛАУ]

В школе изучаются признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9 в обычной десятичной системе счисления. Вот эти признаки делимости:

Число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно).

Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (9 соответственно).

Я в порядке развлечения задалась целью найти систему счисления, в которой ВСЁ НАОБОРОТ. То есть в которой:

Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно).

Число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно).

Оказалось, таких систем счисления бесконечно много. А именно: "школьные признаки делимости" будут "перевёрнутыми" в описанном выше смысле во всех системах счисления с основаниями 90₁₀k+81₁₀, где k - натуральное число или 0.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 7:59

[Cerberuser]

А если включить туда же признак делимости на 11₁₀ и, скажем, на 4? То бишь: делится на 11₁₀ = последние две цифры образуют число, делящееся на 11₁₀; делится на 4 - знакопеременная сумма цифр делится на 4? Надо подумать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[СЛАУ]

А если включить туда же признак делимости на 11₁₀ и, скажем, на 4? То бишь: делится на 11₁₀ = последние две цифры образуют число, делящееся на 11₁₀; делится на 4 - знакопеременная сумма цифр делится на 4? Надо подумать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Может быть, может быть. Но постепенно. Дайте отдышаться от предыдущих вычислений. Пока - обоснование моих предыдущих заявлений:

У т в е р ж д е н и е 1.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признакам делимости на 2, 5, 10 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на m. Если m не делитель числа p, то этот признак делимости несправедлив.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m - произвольный делитель числа p и пусть А=
_____________
a_na_n-1... a₂a₁a₀ - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p. Тогда А=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₂p²+a₁p+a₀=p(a_np^n-1+a_n-1p^n-2+...+a₂p+a₁)+a₀. Отсюда, пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем А=а₀ (mod m). Значит, А даёт тот же остаток при делении на m, что и а₀, откуда и следует то, что число А и его последняя цифра а₀ делятся или не делятся на m одновременно, то есть что справедлив признак делимости из формулировки доказываемого утверждения.

Теперь пусть m - не делитель числа p. Тогда контрпримером, доказывающим, что в этом случае не всегда число A и его последняя цифра в системе счисления с основанием p делятся или не делятся на m одновременно, будет число А=10_p=1*p+0=p, так как 0 делится на m, а p не делится на m. ВСЁ ДОКАЗАНО.

У т в е р ж д е н и е 2.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p-1 и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признакам делимости на 3, 9 в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p-1, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на m. Если m не делитель числа p-1, то этот признак делимости несправедлив.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m - делитель числа p-1. Тогда p-1=km, p=km+1. Значит, остаток от деления p на m равен 1. Возводя равенство p=km+1 в степени 2, 3, 4, ... и применяя бином Ньютона, получим, что p в любой из этих степеней равен tm+1, где t - некоторое целое число, для разных степеней разное. Значит, остаток от деления этих степеней p на m равен 1. Пусть А=
_____________
a_na_n-1... a₂a₁a₀ - произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p. Тогда А=a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₂p²+a₁p+a₀. Отсюда, пользуясь тем, что в алгебраическом выражении по модулю m можно заменять числа их остатками от деления на m, получаем А=a_n+a_n-1+...+a₂+a₁+a₀ (mod m). Значит, число А даёт при делении на m тот же остаток, что и сумма его цифр. Следовательно, число А и сумма его цифр делятся или не делятся на m одновременно. Значит, для m верен признак делимости из формулировки доказываемого утверждения.

Теперь пусть m – не делитель числа p-1. На этот случай возьмём в качестве контрпримера число A=10_p=1*p+0=p. Сумма цифр этого числа в системе счисления с основанием p равна а=1+0=1. Разность А-а равна p-1 и она по предположенному не делится на m. Значит, это число А и сумма его цифр не могут делиться на m одновременно. Следовательно, признак делимости из условия доказываемого утверждения в данном случае несправедлив. ВСЁ ДОКАЗАНО.

У т в е р ж д е н и е 3.
Признаки делимости
число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно),
оба одновременно, верны в системах счисления с основаниями 9i, где i - натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 1.

У т в е р ж д е н и е 4.
Признаки делимости
число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно),
все 3 одновременно, верны в системах счисления с основаниями 10₁₀j+1, где j – натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 2.

У т в е р ж д е н и е 5.

"Обратная математика", в которой верны признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно),

все 5 одновременно, имеет место в системах счисления с основаниями 90₁₀k+81₁₀, где k=0, 1, 2, 3, …, и только в них.

Это следует из утверждений 3 и 4.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 19.08.2012, 15:02

[СЛАУ]

Мы рассмотрели все признаки делимости, входящие в обязательную школьную программу. По заказу Цербера продвинемся ещё чуть дальше и рассмотрим и 2 факультативных признака делимости: на 4 и на 11₁₀.

У т в е р ж д е н и е 6.
Пусть p - основание системы счисления. Тогда в этой системе счисления для всех делителей числа p+1 и только для них справедлив признак делимости, аналогичный признаку делимости на 11₁₀ в десятичной системе счисления. То есть, формально говоря, если m - делитель числа p+1, то в системе счисления с основанием p справедлив следующий признак делимости: число делится на m тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на m. Если m не делитель числа p+1, то этот признак делимости несправедлив.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО схоже с доказательствами утверждений 1 и 2, поэтому не будем его приводить.

У т в е р ж д е н и е 7.
Признак делимости
число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4
верен в системах счисления с основаниями 4i-1, где i - натуральное число, и только в них.

Это следует из утверждения 6.

У т в е р ж д е н и е 8.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на делится на 4,

все 6 одновременно, имеют место в системах счисления с основаниями 180₁₀j+171₁₀, где j=0, 1, 2, 3, …, и только в них.

Покажем, как мы нашли последнюю формулу.
Любое целое число можно представить в одном из следующих четырёх видов:
4j,
4j+1,
4j+2,
4j+3.
Подставляем по очереди эти выражения в выражение из утверждения 5 вместо k:
90*4j+81=360j+81,
90(4j+1)+81=360j+171,
90(4j+2)+81=360j+261,
90(4j+3)+81=360j+351.
Полученные выражения при делении на 4 дают остатки 1, 3, 1, 3 соответственно. Нас интересуют те выражения, что при делении на 4 дают остаток 3. Значения этих 2-х выражений можно описать одной формулой
180j+171,
которая и значится в утверждении 8.

Дальнейшее решение задачи потребовало бы большого количества вычислений, поэтому я оставлю задачу недопросчитанной. При этом теперь очевидно, что

У т в е р ж д е н и е 9.
Признак делимости
число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀
верен в системах счисления с основаниями 121₁₀k, где k - натуральное число, и только в них.

У т в е р ж д е н и е 10.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4;

число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀,

все 7 одновременно, имеют место в системах счисления с такими основаниями k, которые делятся на 121₁₀ и при этом при делении на 180₁₀ дают остаток 171₁₀.

ВСЁ.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 23.08.2012, 14:17

[СЛАУ]

*Продолжение предыдущего поста*
Что-то рано я вчера сдалась и решила не просчитывать "сильно вывернутую наизнанку математику" из утверждения 10. Передумала я потом и просчитала её. Вот:

У т в е р ж д е н и е 10'.
Признаки делимости

число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 3 (9 соответственно);

число делится на 2 (5, 10₁₀) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2 (5, 10₁₀ соответственно);

число делится на 4 тогда и только тогда, когда его знакочередующаяся сумма цифр делится на 4;

число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀,

все 7 одновременно, имеют место в системах счисления с основаниями 21780₁₀i+20691₁₀, где i - натуральное число или 0, и только в них.

ПРОВЕРКА. Для того, чтобы были верны "неправильные" признаки делимости на 3 и 9, нужно, чтобы основание системы счисления делилось на 3 и 9 - это выполняется. Для того, чтобы были справедливы "неправильные" признаки делимости на 2, 5 и 10₁₀, нужно, чтобы величина, на единицу меньшая основания системы счисления, делилась на 2, 5 и 10₁₀ - это выполняется. Для того, чтобы был справедлив "неправильный" признак делимости на 4, нужно, чтобы величина, на единицу большая основания системы счисления, делилась на 4 - это выполняется. Для того, чтобы был верен "неправильный" признак делимости на 11₁₀, нужно, чтобы основание системы счисления делилось на 121₁₀ - это тоже выполняется. Проверка сошлась.
Вот теперь, кажется, всё.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 5:46

[Cerberuser]

Ого! Вроде бы задача не особо осмысленная, но то, что вы ей занялись... честно, очень впечатлён всем этим. А главное, насколько после всего этого выглядит естественным, что мы работаем в десятичной системе: ведь даже небольшое "выворачивание наизнанку" очень сильно увеличивает основание системы, ну а если полностью... а в десятичной как раз много простых, красивых и полезных на практике признаков достаточно много (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[СЛАУ]

Ну... я не думаю, что десятичная система счисления лучшая с точки зрения признаков делимости. Например, в двенадцатиричной системе счисления, системе счисления с основанием p=12₁₀, дела обстоят так. По последней цифре можно определить делимость числа на 2, 3, 4, 6, 12₁₀ (потому что это делители числа p); по сумме цифр можно определить делимость на 11₁₀ (потому что это делитель числа p-1); по знакочередующейся сумме цифр можно определить делимость на 13₁₀ (потому что это делитель числа p+1); по последним двум цифрам можно определить делимость на 8, 9, 16₁₀, 18₁₀, 24₁₀, 36₁₀, 48₁₀, 72₁₀, 144₁₀ (потому что это делители числа p^2). Хороший конкурент десятичной системе счисления. Просто у людей 10 пальцев на руках...

А такое большое основание системы счисления в последнем утверждении получилось потому, что мы искали систему счисления со строго определённым сочетанием признаков делимости, довольно искусственным. Мы хотели, чтобы "всё было по-нашему", в точности как мы заказали, а за это всегда надо платить.

Задача да, чисто юмористическая. Спасибо за поддержание беседы. Благодаря тому, что я писала эти посты и решала Вашу задачу "ещё большего выворачивания математики наизнанку", я лучше поняла некоторые вещи в математике.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 14:32

[Cerberuser]

Перечитал и понял, что не улавливаю один момент:

При этом теперь очевидно, что

У т в е р ж д е н и е 9.
Признак делимости
число делится на 11₁₀ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 11₁₀
верен в системах счисления с основаниями 121₁₀k, где k - натуральное число, и только в них.

По идее, если верен такой признак делимости на p в системе с основанием q, то 100_q=q^2 должно делиться на p. Соответственно, получается не 121₁₀k, а 11₁₀k (т.к. корень из 11 - иррациональное число, то q^2 делится на 11 эквивалентно тому, что q делится на 11).

[СЛАУ]

не 121₁₀k, а 11₁₀k

Точно-точно. Прикидывала в уме и поэтому ошиблась. Причём когда основание системы счисления 11₁₀k, то для определения, делится ли число на 11₁₀, достаточно ОДНОЙ ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЫ, необходимости в предпоследней цифре нет. И получается, что признаки делимости на 4 и на 11₁₀ совсем красиво и чисто поменять местами нельзя.
Выходит, до утверждения 9 (исключительно) у меня всё правильно, а утверждения 9, 10 и 10' ошибочны. Ну, остановимся на утверждениях 1-8. Получится неполное, как бы незаконченное выворачивание наизнанку. Этакий парадокс в квадрате. :-)

Никогда не говори "Я ошибся". Скажи: "Надо же, как интересно получилось!" -
анекдот, который когда-то постил, кажется, Нинат.

На самом деле я извиняюсь. (IMG:style_emoticons/default/skonfuzen.gif)

Сообщение отредактировал СЛАУ - 20.08.2012, 17:51

[researcher11]

Американцы никогда не поймут одного русского ответа: "да нет наверное..."

[СЛАУ]

Американцы никогда не поймут одного русского ответа: "да нет наверное..."

Для того, чтобы понять этот русский ответ, американцам нужно для начала понять, "наверное" - это "гарантирую на 100%" или "решусь предположить, но не уверен(а), могу ошибаться".