Задачи о часовых Опции

[СЛАУ]

В первую очередь опишем задачи, которым посвящена тема.

Имеются круги, расположенные в n рядов по m в ряд и попарно касающиеся друг друга. Круги заключены в прямоугольную рамочку и касаются её. Пример на рисунке 1, здесь n=8, m=8.



Рис. 1. (ссылка на эту же картинку: _http://www.10pix.ru/img1/4763/8449631.jpg )

В каждом круге по 2 стрелки. Каждая стрелка смотрит или на 3, или на 6, или на 9, или на 12 часов. Требуется, поворачивая круги на углы, кратные 90^о, добиться того, чтобы стрелки образовывали границы стран на карте. То есть чтобы ломаные, образованные стрелками, не обрывались в точках касания кругов друг с другом, а обрывались только в точках касания кругов с прямоугольной рамочкой (или не обрывались вообще, представляя собой замкнутые ломанные - многоугольники). Допускается некоторые круги не поворачивать, это считается за поворот на 0^о. Эту задачу будем называть ЗАДАЧЕЙ О ЧАСОВЫХ, из-за ассоциаций с часами и упоминания границы.

Та конкретная задача о часовых, что представлена на рисунке 1, имеет 2 решения. Первое решение представлено на рисунке 2, второе - на рисунке 3.



Рис. 2 (ссылка на эту же картинку: _http://www.10pix.ru/img1/3476/8447436.jpg )



Рис. 3 (ссылка на эту же картинку: _http://www.10pix.ru/img1/836137/8447629.jpg )

Справедливо следующее

У т в е р ж д е н и е 1.
Любая задача о часовых имеет чётное количество решений.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ.

З. Ы. Некрасиво, конечно, что я в качестве примера взяла случай, когда n=m - какой-то частный случай получился. Но во-первых, я люблю квадраты; во-вторых, я рисунки 1, 2, 3 рисовала целый день, в пойнте это то ещё удовольствие, и рисовать теперь плюс к этому "прямоугольный случай" было бы чересчур.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 7.09.2012, 17:43