Раскрашивая мир в яркие цвета Опции

[СЛАУ]

Только не удаляйте эту тему и не переносите в другой раздел из-за названия) Я про раскрашивание в математическом смысле.

Есть одна красивая задача. Называется проблема четырёх красок. Вот статья о ней в Википедии: ВОТ. Одна из формулировок этой задачи:

Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Я подумала, что понятия, используемые в этой формулировке проблемы четырёх красок, можно перенести с плоскости/поверхности в пространство. Как призывал Шарыгин, выйти в пространство. При этом аналог проблемы четырёх красок в пространстве - простенькая задача на однократное напряжение воображения. Аналог может быть примерно таким:

Какого минимального количества цветов достаточно для правильной раскраски любой пространственной карты, если под правильной раскраской понимается такая раскраска, при которой любые 2 области, имеющие общий двумерный участок границы, раскрашены в разные цвета.

Ответ на такую задачу: минимума нет. Какое бы большое натуральное число n мы ни взяли, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо как минимум n цветов. Более того, можно предъявить пространственную карту, для раскраски которой необходимо бесконечное число цветов. Я могу это доказать и может быть сделаю позже, но это довольно просто (только нужно много букАФФ) и это не самое интересное.

Хотя пространственный аналог проблемы четырёх красок - не проблема, а так, пустячок, это не значит, что перенесение понятия "правильная раскраска" с плоскости/поверхности в пространство не даёт ничего интересного. Я думаю, оно даёт кучу интересных задач. Оно даёт задачи вида "Определите, какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски такой-то конкретной пространственной карты". Оно даёт и другие задачи, например: "Какое минимальное количество цветов необходимо для правильной раскраски пространственной карты, если эта карта - всё обычное трёхмерное евклидово пространство, разделённое на равные друг другу кубы (не обязательно расположенные между собой так просто, как в простейшей кубической карте, определение простейшей кубической карты чуть ниже, в следующем абзаце).

Берём обыкновенное трёхмерное евклидово пространство и декартову систему координат в нём. Рассматриваем плоскости x=i, y=j, z=k, где i, j k пробегают всё множество целых чисел. Эти плоскости делят пространство на кубы с ребром 1. Такую пространственную карту (её я и предлагаю называть простейшей кубической картой) можно правильно раскрасить двумя цветами. Это такая... пространственно-шахматная раскраска. Представление о ней даёт уникуб Никитиных (см. фото).



При другом взаимном расположении кубиков могут получаться пространственные карты, для правильной раскраски которых необходимы и достаточны 3, 4, 5 и 6 цветов.

Дальше...
Есть такой многогранник - звёздчатый ромбододекаэдр. Существует головоломка, имеющая вид звёздчатого ромбододекаэдра. Несколько месяцев назад в продаже появился ластик, сделанный в форме этой головоломки. Вот его фото:



Как видите, он состоит из шести деталек разного цвета, вот они:



При этом известно, что звёздчатыми ромбододекаэдрами можно заполнить всё пространство без зазоров. Это было искушение. Я накупила много этих ластиков, разобрала их и собрала из деталек одноцветные звёздчатые ромбододекаэдры. Вот например голубенький:



С этими звёздчатыми ромбододекаэдрами я стала делать начальные этапы заполнения пространства, но так, чтобы получилась правильная раскраска пространства, разбитого на звёздчатые ромбододекаэдры. Оказалось, что для правильной раскраски такой пространственной карты не достаточно трёх цветов и достаточно четырёх. Располагала я ластики так. Сначала первый уровень - ластики белого и голубого цветов, 9 штук, раскраска в шахматном порядке (фото:




). Второй уровень - ластики розового и зелёного цвета, 4 штуки, раскраска в шахматном порядке (фото:



). Они ставятся на 9 ластиков первого уровня. Третий уровень заполненного звёздчатыми ромбододекаэдрами пространства повторяет первый, только ластик я поставила всего один, голубой, так как выкладывала ластики сужающейся кверху пирамидой (см. фото:



).

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ.

Сообщение отредактировал СЛАУ - 9.07.2012, 16:46