Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[ycheff]

Признак делимости на 11 - это лишь начало решения. Решение примерно такое:
Кроме того важно, что сумма всех цифр числа равна 45, так что 0 и 22 для разности сумм четных и нечетных цифр числа не удастся получить (число 45 нечетное).
Легко показать, что разность +/-33 дает числа, далекие от оптимальных (либо большие цифры лезут в первые разряды для числа, которое должно быть малым, либо малые лезут в первые разряды числа, которое должно быть большим), так что приходится искать числа с разностью +/-11 (одна сумма при этом равна (45+11)/2=28, другая 17).
Минимальное число должно быть по возможности ближе к числу 1023456789. Но уже сохраняя 4 первые цифры (1023...), получим 3 для сумм первых пар цифр, значит суммы для остальных должны быть 25 и 14 (это невозможно, так как 4+5+6=15>14 или 7+8+9=24<25). Приходится 3 поменять с 4 местами (теперь ищем число в виде 1024...). Тогда суммы для первых пар цифр 3 и 4, значит суммы для остальных цифр могут быть 17-3=14 и 28-4=24, что нам в самый раз подходит - 4, 5, 6 идут в нечетные разряды, а 7, 8, 9 - в четные: 1024375869.
Максимальное число должно быть ближе к числу 9876543210. Сохраняя 6 цифр (987654...), получим суммы первых троек цифр 21 и 18 (18>17), это не подходит. 4 заменить на 3 недостаточно, так как сумма будет 17, а нулями оставшиеся цифры быть не могут. Значит 4 заменяем на 2, а в четные разряды попадут 1 и 0 (в нечетные, соответственно 4 и 3). Теперь получается ответ: 9876524130.