Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[metelev_sv]

Собственно даже и не задачка. Известно, что скалярное произведение двух векторов a, b можно посчитать двумя эквивалентными способами. (a*b)=|a|*|b|*cos(\alpha). Допустим, что наши вектора трёхмерные, и раскладываются по компонентам так: a=x_ai+y_aj+z_ak и b=x_bi+y_bj+z_bk. Тогда то же самое скалярное произведение можно записать так: (a*b)=x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b. Мне как-то лень было думать на тему, откуда это берётся, а вчера я выяснил для себя что второе выражение получается буквально в две строчки с помощью элементарного рассуждения. Ну вот, на радостях пишу об этом сюда (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[metelev_sv]

Отвечу сам же. Допустим мы желаем найти, какова будет проекция вектора a на прямую, на которой лежит вектор b. Назовём отражение вектора a относительно этой прямой буквой a₁ Очевидно, что |a+a₁| составляет удвоенную длину искомой проекции. Определяется вектор a₁ условиями сохранения длины |a|=|a₁| и тем, что в сумме с вектором a должен получится вектор b с некоторым коэффициэнтом, назовём этот коэффициэнт 2*k. Распишем равенство векторов по компонентам, например для x напишем так: x_a+x_a1=kx_b, и то же самое для других двух компонент (y и z). Далее выразим неизвестные компоненты вектора a₁ через известные компоненты двух других векторов и приравняем длины. Получим (2kx_b-x_a)²+(2ky_b-y_a)²+(2kz_b-z_a)²=x_a²+y_a²+z_a². Раскрыв скобки и проведя преобразования, получим выражение для k. Это будет длина проекции, если за единицу длины принять длину вектора b. Если затем отнормировать оба вектора на 1, то k, с учётом того как мы его ввели, должен оказаться равным косинусу угла между векторами. Отсюда и получается, что одно определение скалярного произведения эквивалентно второму.

[VSam]

Какая цифра будет стоять на 500000-м месте в:

12345678910111213........ ?