Школьный факультатив по математике Опции

[metelev_sv]

На моё удивление мне опять предлагают в этом году вести факультатив по математике. Я-то думал, что я своим ученикам надоел уже (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) У того же класса, который у меня был в прошлом году и у другого, не математического. И вот я сижу и думаю об этом. Это уже третий год будет. Когда-то я брался за это дело с тем, что вот в школе зачастую утверждения математические даются без пояснений или с минимальными пояснениями или в виде сложных навороченных доказательств, тогда как есть простой способ понять, почему утверждение верно. Поясню, о чём это я. Вот например утверждение, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Я учился по учебнику геометрии Погорелова, в котором доказательство этого утверждения было предложено в виде дополнительной задачи с наводящими соображениями. Решать её я поленился и будучи школьником и сейчас бы не стал (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Там какой-то параллелограмм надо строить, не помню уже сейчас. У Сканави по-моему есть доказательство, которое как раз в духе этой задачи проведено. И в то же время есть же простой способ понять почему это так, который я вывел для себя сам, но наверняка придумал не я первый, а где-нибудь это утверждение в строгом виде есть. Вот чертёж:

Имеется произвольный треугольник АВС. Штрихованные буквы стоят на серединах противолежащих сторон. Образованный ими треугольник (то есть A'B'C') подобен треугольнику АВС. Медианы треугольника АВС являются так же медианами треугольника A'B'C'. То, что они пересекаются в одной точке как-то отдельно надо доказывать, если стремиться к строгости, равно как и остальные утверждения. Но практически выглядит очевидным, что от точки пересечения медиан до вершины штрихованного треугольника расстояние в два раза меньше чем до соответствующей вершины нештрихованного. Просто из-за подобия.

Ну вот, я думал что пояснения утверждений которые обычно принимаются "на веру" в таком вот духе было бы интересно. Но во-первых их не так много, этих утверждений. Во-вторых если самому говорить, то они легко теряют нить и скучать начинают. А просто решать задачки не хочется. Школьные способы решения задач мне и в школе-то не нравились. В первый год я решал задачи из тех, что для подготовки в Политех. Не могу заставить себя относиться к ним всерьёз. Это значило бы забивать голову кучей ненужных сведений. Так я выяснил для себя, что для жонглирования логарифмами есть штук 10 формул, помимо всем известных логарифма произведения и степени. Любую из них можно вывести, потратив пол часа, но в условиях когда на экзамене 20 задач и на них даётся 2 часа это непозволительные траты времени.

Во второй год у меня был целый класс. Математический. Они много знают, руку набили на всяких преобразованиях, у них много занятий помимо школьных. Им это просто уже скучно. То есть такого рода вещи, как про медианы, я им быстренько рассказал, а какие-то новые вещи, когда надо и послушать и въехать в новый круг понятий и порешать и понять, с этим мне было сложно. Я и сам наверное слишком торопился и пропускал подробности и рассказывал обоснование, когда они ещё не поняли о чём речь и готовится не всегда успевал как следует.

Было бы интересно узнать мнение аудитории по поводу факультатива. Что там должно быть и чего быть не должно. Был ли у кого-нибудь опыт преподавания факультатива? Что рассказывали школьникам и какие задачи решали? Было ли это "по интересам" или все подряд должны были ходить? У меня вот крутится в голове мысль, если ходить в тот же мат. класс, он уже 10-й будет, взять попросту книжку Эйлера про дифференциальное исчисление и излагать по параграфу за раз, задачки придумывать по ходу дела (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Было бы это нормально, кто как думает, или пусть живут? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Далее, мне интересно если кто-нибудь видел доказательство утверждения про медианы в том духе, как я излагал чуть выше, хотел бы узнать, где оно такое есть. Ещё было бы интересно узнать, кто насколько помнит доказательства и обоснования утверждений, которые обычно в школе даются. Я вот многое узнал для себя после школы уже, это у всех так бывает или же я такой разгильдяй? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Может действительно нужно просто отрабатывать технические приёмы и не стараться непременно всё обосновать?

Несколько сумбурно получилось. На самом деле просто про опыт общения со школьниками тоже было бы интересно почитать, если у кого есть.

[Elena]

Уф, попробуем по порядку. Книжку на днях постараюсь выложить, ссылку сюда тогда скину.

Комбинаторика - это наука, отвечающая на вопрос "сколько?", поэтому сочетания, размещения и перестановки - это все сюда. Но там есть довольно интересные конструкции, с которыми все не так просто, как взять подходящую по случаю формулу.

С матлогикой: силлогизмы - это из логики высказываний как раз.

В те времена, когда я только вела семинары по дискретной математике, когда дошло дело до логики высказываний, решила детям устроить из семинара небольшой праздник юмора и даже, содрав предварительно обещание не жаловаться администрации, дала одну хулиганскую задачу (не скажу какую, уж больно хулиганская). Итог: через неделю прибегает ко мне другая группа в полном составе с таким вопросом: "а вот Ваши студенты задали нам задачу, мы ее решить не можем, а они не сознаются, какой ответ. Мы уже все измучились, подскажите хоть, что делать". Оказалось, что это та самая хулиганская задача так всех заинтересовала.

Вероятности. Пример практического применения: сколько нужно купить лотерейных билетов для того, чтобы почти наверняка что-нибудь выиграть? Заинтересовывает даже двоечников. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) Могу еще несколько таких накидать.

Теперь про "нестандартность". Я считаю, что точка зрения о том, что нужно разбирать "стандартные" подходы и не трогать "нестандартные" является не правильной. По крайней мере для тех, кто интересуется математикой, а не просто отсиживает положенные по программе часы. Поясню. Стандартные подходы учат "шаблонному" мышлению и не развивают логику, не учат думать. Нестандартность не обязательно должна быть какой-то такой уж сверхнестандартной и сверхсложной. Например. Прежде чем рассказывать логарифмическую производную, я обычно пишу на доске функцию, производную от которой надо взять самим студентам. Причем намеренно пишу дробь с бешеным количеством произведений в числителе и знаменателе и еще и степенями. Некоторые тут же бросаются решать напрямую по формулам производной произведения и частного, другие округляют глаза с немым вопросом: Вы что, издеваетесь? А я ставлю перед детьми проблему: сколько надо времени, чтобы это решить и сколько еще, чтобы проверить, нет ли ошибок? В общем, даю повод подумать, а нельзя ли придумать что-нибудь попроще? А потом честно говорю, что можно.

Еще один вариант нестандартной задачи на те же производные. Мое любимое "издевательство" над студентами. Задаю такое задание: пишу арксинус, под который запихиваю какую-нибудь бешеную дрянь с дробями, логарифмами, тангенсами, дробными степенями... а потом прибавляю к нему арккосинус с тем же аргументом. У студентов глаза такие же, как на ту функцию, которую я перед лог. производной рисую. Но приступают к решению. Минут через десять-пятнадцать поднимаются оголделые глаза самого скоростного студента с вопросом: а у Вас нет ответа к этой задаче? Я: есть. Он: а какой? Я: а что у Вас получилось? Он: ноль... Я: а в чем проблема? Он: но ведь нулю производная равна только у константы... Тут он снова вылупляется на задачу и соображает, что сам только что ответил на свой вопрос.

Итоговая мысль: нестандартная задача не обязательно сложная и не является одноразовой. Нестандартная задача - это зарядка для мозгов, если хотите. На нестандартных подходах можно находить решения проблем быстрее, чем обычно, например.

По поводу практической отдачи. Прихожу на прошлой неделе читать студентам дискретную математику (первая лекция) и выдаю: а вы знаете, что когда сегодня ехали в университет, использовали теорию графов? Вытаращенные глаза и отвисшие челюсти на такой вопрос гарантированы. Аналогичный вопрос можно задать и школьникам. Например: вам надо доехать в другой конец города на определенную станцию метро, что будете делать? Наверняка смогут проложить маршрут (под это дело можно на всякий случай карту метро прихватить, если вдруг школьники малоездящие). Когда будет готов маршрут, выдаете: а вы знаете, что только что решили задачу поиска кратчайшего пути на графе? Короче говоря, заинтересовать детей математикой масса способов. Еще хорошо, когда есть математический анекдот в тему, тоже можно удачно вкрутить. А иногда просто рассказать математический анекдот (не в тему) для разгрузки. А можно и нематематический, если в тему.

Сегодня был забавный случай. У меня у самой челюсть отвисла. Приходит ко мне вчера студент с вопросом о возможном перезачете оценок с прошлого года (он из академа, а дискретку в прошлом году сдал). Попросила его принести то, что было в прошлом году сделано (т.к. преподаватель был другой). Сегодня приносит материалы. Просмотрела и пообещала перезачесть с той же оценкой. А он, отходя к своей парте, говорит: "Ой, а можно я буду лабораторные работы делать? ТАК ИНТЕРЕСНО!!!"

Поподробнее в прошлом посте не получилось просто потому, что через десять минут после его отправки надо было бежать на пару. Если что-то конкретно интересует, то давайте (кстати, по мне лучше на ты) дальше обсуждать по порядку. Все сразу поподробнее сложно. С чего начинать?