Школьный факультатив по математике Опции

[metelev_sv]

На моё удивление мне опять предлагают в этом году вести факультатив по математике. Я-то думал, что я своим ученикам надоел уже (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) У того же класса, который у меня был в прошлом году и у другого, не математического. И вот я сижу и думаю об этом. Это уже третий год будет. Когда-то я брался за это дело с тем, что вот в школе зачастую утверждения математические даются без пояснений или с минимальными пояснениями или в виде сложных навороченных доказательств, тогда как есть простой способ понять, почему утверждение верно. Поясню, о чём это я. Вот например утверждение, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Я учился по учебнику геометрии Погорелова, в котором доказательство этого утверждения было предложено в виде дополнительной задачи с наводящими соображениями. Решать её я поленился и будучи школьником и сейчас бы не стал (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Там какой-то параллелограмм надо строить, не помню уже сейчас. У Сканави по-моему есть доказательство, которое как раз в духе этой задачи проведено. И в то же время есть же простой способ понять почему это так, который я вывел для себя сам, но наверняка придумал не я первый, а где-нибудь это утверждение в строгом виде есть. Вот чертёж:

Имеется произвольный треугольник АВС. Штрихованные буквы стоят на серединах противолежащих сторон. Образованный ими треугольник (то есть A'B'C') подобен треугольнику АВС. Медианы треугольника АВС являются так же медианами треугольника A'B'C'. То, что они пересекаются в одной точке как-то отдельно надо доказывать, если стремиться к строгости, равно как и остальные утверждения. Но практически выглядит очевидным, что от точки пересечения медиан до вершины штрихованного треугольника расстояние в два раза меньше чем до соответствующей вершины нештрихованного. Просто из-за подобия.

Ну вот, я думал что пояснения утверждений которые обычно принимаются "на веру" в таком вот духе было бы интересно. Но во-первых их не так много, этих утверждений. Во-вторых если самому говорить, то они легко теряют нить и скучать начинают. А просто решать задачки не хочется. Школьные способы решения задач мне и в школе-то не нравились. В первый год я решал задачи из тех, что для подготовки в Политех. Не могу заставить себя относиться к ним всерьёз. Это значило бы забивать голову кучей ненужных сведений. Так я выяснил для себя, что для жонглирования логарифмами есть штук 10 формул, помимо всем известных логарифма произведения и степени. Любую из них можно вывести, потратив пол часа, но в условиях когда на экзамене 20 задач и на них даётся 2 часа это непозволительные траты времени.

Во второй год у меня был целый класс. Математический. Они много знают, руку набили на всяких преобразованиях, у них много занятий помимо школьных. Им это просто уже скучно. То есть такого рода вещи, как про медианы, я им быстренько рассказал, а какие-то новые вещи, когда надо и послушать и въехать в новый круг понятий и порешать и понять, с этим мне было сложно. Я и сам наверное слишком торопился и пропускал подробности и рассказывал обоснование, когда они ещё не поняли о чём речь и готовится не всегда успевал как следует.

Было бы интересно узнать мнение аудитории по поводу факультатива. Что там должно быть и чего быть не должно. Был ли у кого-нибудь опыт преподавания факультатива? Что рассказывали школьникам и какие задачи решали? Было ли это "по интересам" или все подряд должны были ходить? У меня вот крутится в голове мысль, если ходить в тот же мат. класс, он уже 10-й будет, взять попросту книжку Эйлера про дифференциальное исчисление и излагать по параграфу за раз, задачки придумывать по ходу дела (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Было бы это нормально, кто как думает, или пусть живут? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Далее, мне интересно если кто-нибудь видел доказательство утверждения про медианы в том духе, как я излагал чуть выше, хотел бы узнать, где оно такое есть. Ещё было бы интересно узнать, кто насколько помнит доказательства и обоснования утверждений, которые обычно в школе даются. Я вот многое узнал для себя после школы уже, это у всех так бывает или же я такой разгильдяй? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Может действительно нужно просто отрабатывать технические приёмы и не стараться непременно всё обосновать?

Несколько сумбурно получилось. На самом деле просто про опыт общения со школьниками тоже было бы интересно почитать, если у кого есть.

[Elena]

Мысль про факультатив интересная. Сама никогда не вела, но слышала когда-то давно про такой у нас в школе (он был для детей на класс младше, так что я туда никак не попадала). Так вот, мне кажется, им было бы интересно повозиться с некоторыми разделами дискретной математики, например, комбинаторикой и теорией графов. По последнему разделу у меня даже есть интересный сборник задач как раз для школьников в формате djvu. Сама зачитываюсь, а некоторыми из них даже своих студентов развлекаю. Еще можно рассказать некоторые начальные разделы теории вероятностей, как раз под дудочку комбинаторики. Далее, мат. логика, а именно логика высказываний (если такого предмета у них нет в школьной программе), тоже куча всего интересного, в том числе и интересных задач. Потому что факультатив он же по интересам, вот и надо рассказывать интересно. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Еще один вариант - можно решать задачки повышенной сложности для подготовки к вузу. Я бы остановилась на "нестандартных" подходах.

Дифференциальное и интегральное исчисление для десятого класса на факультативе тоже может быть полезным, т.к. в вузах (куда все выпускники мат. класса скорее всего будут поступать) довольно часто рассказывают эти разделы очень сухо и строго, не давая простых объяснений сути происходящего. Мне в свое время удалось достучаться до первокурсников так, что любой самый распоследний двоечник мог сам запросто сочинить определение любого предела (там много вариантов, обычно дают парочку со словами "остальные определения дать самостоятельно"). Пригодилось бы в будущем. Можно и интегралы с производными рассказать, чтобы дети руку на каких-то вещах могли набить. Опять же, полезно. Мои собственные студенты приходили на старших курсах с благодарностью за то, что в свое время я их заставила вычислить чертову прорву производных и интегралов.

В общем, все зависит от целей, собственных интересов, интересов класса и учебной программы.

Такие вот навскидку мысли, если еще что в голову придет, обязательно отпишусь (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[metelev_sv]

Мысль про факультатив интересная. Сама никогда не вела, но слышала когда-то давно про такой у нас в школе (он был для детей на класс младше, так что я туда никак не попадала). Так вот, мне кажется, им было бы интересно повозиться с некоторыми разделами дискретной математики, например, комбинаторикой и теорией графов. По последнему разделу у меня даже есть интересный сборник задач как раз для школьников в формате djvu. Сама зачитываюсь, а некоторыми из них даже своих студентов развлекаю. Еще можно рассказать некоторые начальные разделы теории вероятностей, как раз под дудочку комбинаторики. Далее, мат. логика, а именно логика высказываний (если такого предмета у них нет в школьной программе), тоже куча всего интересного, в том числе и интересных задач. Потому что факультатив он же по интересам, вот и надо рассказывать интересно. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Елена, мне хотелось бы на этот задачник посмотреть. Не знаю, буду ли я эти задачи давать школьникам, но самому интересно. Когда я слышу про теорию графов у меня в памяти всплывает задача про кенигсбергские мосты и вершины+грани-рёбра=2. Из комбинаторики я помню только размещения, сочетания, перестановки, и по-моему она этим исчерпывается. На самом деле достаточно формулы для перестановок, сочетания и размещения из неё более-менее легко получаются.

Отступление для Lord-Aries:
Сочетания, как известно, выражаются формулой n!/(m!(n-m)!)---почему-то именно такой способ общепринятый.
На самом-то деле логичнее было бы вот как трактовать.

1. Допустим есть 5 штук (например) чего-то, обозначим их буквами abcde.
2. Перестановок 5! Очевидно почему. Потому что пусть сначала все 5 мест пустые. Начинаем заполнять. "a" занимает одно из 5 мест. Для "b" при любом раскладе остаётся 4 места. Для "c" при любом раскладе остаётся 3 места. И т.д. Поэтому перемножив 5*4*3*2*1 получим количество перестановок.
3. Количество сочетаний из 5 по 3 (например), оно же количество сочетаний из 5 по 2 (они равны, потому что каждый раз выбирая 3 элемента 2 оставляем, и они сами по себе образуют сочетание. С тем же успехом можно было бы 2 выбирать и 3 оставлять.), оно же соответствующий биномиальный коэффициэнт (коэффициэнт при разложении (a+(IMG:style_emoticons/default/cool.gif) ^5, в нашем случае на втором или на третьем месте). Вот с биномиальными коэффициэнтами как раз по-моему проще всего получить буквенный ответ, потому что симметрично получается.
4. Действовать будем так. Возьмём другие 5 штук чего-то, но из них 3 одинаковых и 2 оставшихся тоже одинаковых. Обозначим их буквами fffgg. Дальше будем действовать как с перестановками, и на это время пометим одинаковые, чтобы отличать, цветом например. Накладывая каждую из перестановок на ряд abcde и выбирая те элементы, которые попадут под f и g, получаем одно из сочетаний. Например исходные позиции дадут сочетания abc (на которые попадут fff) и de (на которые попадут gg). При этом мы посчитаем лишние сочетания, потому что буквы fff и gg пока различаются по цвету, и поэтому сочетания с разным порядком следования будут посчитаны отдельно. На самом деле порядок следования элементов в сочетаниях нас не интересует. Чтобы их исключить нужно убрать временно введённые цвета, то есть поделить на количество перестановок букв fff и букв gg.
То есть общее количество перестановок (2+3)! делим на количество перестановок каждой из групп (fff 3! и gg 2!) по отдельности (2+3)!/(2!3!) --- это и есть искомое количество сочетаний из 5 по 3 или по 2.
5. Аналогичным образом можно действовать, если этих групп не 2, а 3 или больше, получим коэффициэнты для (a+b+c)^n (если групп 3, например.)
6. Аналогично для размещений.

На этом отступление закончено (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Ну вот, по моим представлениям, этим собственно комбинаторика и ограничивается. Про теорию вероятностей---им же это практически нигде не пригодится, как я понимаю. Кроме всего прочего я не чувствую себя уверенно в теории вероятностей. Мне лично она интересна и полезна только в той степени, которая позволяет понимать что такое погрешности. И то строгость мне не нужна, достаточно иметь представление. Про мат. логику---даже не представляю себе о чём это. Силлогизмы это ведь не из той оперы? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вообще я должен признать, что мне ужасно не хватает практики использования общепринятого научного языка. Я не готовился специально к поступлению, не учился в мат. классе, у меня не было репетитора, студентом я был, прямо скажем, не самым усердным. И вот. А понимать ведь мало. Надо ещё уметь высказать на языке, который поймут другие. Поэтому Елена, если Вы будете писать хоть чуть подробнее это мне здорово поможет. Мои ассоциации с упомянутыми Вами разделами математики, насколько они адекватные и полные?

Когда я в первый раз собирался идти на факультатив, у меня тоже мысли были, и то рассказать и это. На самом деле они же не обязаны ходить. Значит, если им будет не интересно, то и не будут. (На всякий случай надо сказать так же, что если мне будет неинтересно, то им тоже скорее всего не будет (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) )) ) А просто, чтобы ввести в курс дела, терминологию ввести, уже уходит куча времени. Я здесь в какой-то мере согласен с Лордом, если нет моментальной практической отдачи, если они не смогут в конце урока сказать, чему они научились именно сегодня---никаких шансов, что они вообще будут ходить. А если чтобы кому-то сказать, чему они научились, сначала им придётся пол часа объяснять о чём это вообще, им будет неинтересно. Это заранее и с гарантией можно сказать. У них полно занятий кроме меня. Они языки учат, танцами занимаются, любовь-морковь, интернет в конце-то концов. У мат. класса математики и без меня много. Честной, обычной школьной математики. У меня такой не было, когда я в школе учился. Ну то есть в классе не было, дома у меня была какая-то книжка, из которой я пытался иногда что-то для себя понять. Был справочник Выгодского.

Ну вот, а практическая отдача возможна в двух случаях. Или они в рамках уже имеющихся знаний решают что-то, обычная тоскливая работа, но она 1. понятна 2. имеет видимые рамки. То есть это нормально воспринимается. Пусть скучно, но понятно что делаем. Или как-то надо всё-таки объяснить, что это не единственно возможный вариант. Что есть другой способ учиться, тратить на задачу пусть 2 недели, пусть 3, зато решить её в конце концов. Вопрос: "в таком случае, а что делать собственно на уроке?" остаётся открытым (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Еще один вариант - можно решать задачки повышенной сложности для подготовки к вузу. Я бы остановилась на "нестандартных" подходах.

Честно сказать, мне-то как раз решения сложных задач школьными методами "нестандартными" способами как раз вовсе не нравится и не нравилось никогда. Они одноразовые все. "Нормальная" математика это язык, способ говорить о реально существующих вещах (таково ведь распростанённое понимание). "Нестандартные" способы это не изучение языка, а скорее вроде как заучивание статей из энциклопедии. Если этот нестандартный способ не изобретён самостоятельно, то он практически бесполезен, даже если про него рассказать. Изобретён же он может быть в совершенно неожиданные моменты времени, даже если и вовсе не собираешься прямо счас нестандартно задачу решить (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Дифференциальное и интегральное исчисление для десятого класса на факультативе тоже может быть полезным, т.к. в вузах (куда все выпускники мат. класса скорее всего будут поступать) довольно часто рассказывают эти разделы очень сухо и строго, не давая простых объяснений сути происходящего. Мне в свое время удалось достучаться до первокурсников так, что любой самый распоследний двоечник мог сам запросто сочинить определение любого предела (там много вариантов, обычно дают парочку со словами "остальные определения дать самостоятельно"). Пригодилось бы в будущем. Можно и интегралы с производными рассказать, чтобы дети руку на каких-то вещах могли набить. Опять же, полезно. Мои собственные студенты приходили на старших курсах с благодарностью за то, что в свое время я их заставила вычислить чертову прорву производных и интегралов.

Вот. Мне вот в школе не говорили явным образом, что все производные из таблицы можно посчитать самостоятельно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Но это я и сам догадался. А вот в такую простую вещь, как производная обратной функции (sin и arcsin например), въезжал гораздо дольше. В школе для меня оставалось загадкой, почему производная arcsin не есть попросту 1/cos. А это такие вещи, которые должны быть понятны до такой степени, чтобы быть "своими", и по мне, об этом должны говорить ещё в школе.

И вот, чем мне старые книги нравятся, основоположников, что они маленькими шажками шли. Много примеров приводили. Подробно и с разных сторон всё обдумывали. Мне всё-таки кажется, что книги великих людей это самое полезное чтение, никакие последующие переложения с ними не сравнятся.

В общем, все зависит от целей, собственных интересов, интересов класса и учебной программы.

Учебной программой меня не терзают. Я сам определяюсь, что я буду рассказывать. Конечно, с учительницей их говорил о том, что они проходят и что я собираюсь рассказывать.