Школьный факультатив по математике Опции

[metelev_sv]

На моё удивление мне опять предлагают в этом году вести факультатив по математике. Я-то думал, что я своим ученикам надоел уже (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) У того же класса, который у меня был в прошлом году и у другого, не математического. И вот я сижу и думаю об этом. Это уже третий год будет. Когда-то я брался за это дело с тем, что вот в школе зачастую утверждения математические даются без пояснений или с минимальными пояснениями или в виде сложных навороченных доказательств, тогда как есть простой способ понять, почему утверждение верно. Поясню, о чём это я. Вот например утверждение, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Я учился по учебнику геометрии Погорелова, в котором доказательство этого утверждения было предложено в виде дополнительной задачи с наводящими соображениями. Решать её я поленился и будучи школьником и сейчас бы не стал (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Там какой-то параллелограмм надо строить, не помню уже сейчас. У Сканави по-моему есть доказательство, которое как раз в духе этой задачи проведено. И в то же время есть же простой способ понять почему это так, который я вывел для себя сам, но наверняка придумал не я первый, а где-нибудь это утверждение в строгом виде есть. Вот чертёж:

Имеется произвольный треугольник АВС. Штрихованные буквы стоят на серединах противолежащих сторон. Образованный ими треугольник (то есть A'B'C') подобен треугольнику АВС. Медианы треугольника АВС являются так же медианами треугольника A'B'C'. То, что они пересекаются в одной точке как-то отдельно надо доказывать, если стремиться к строгости, равно как и остальные утверждения. Но практически выглядит очевидным, что от точки пересечения медиан до вершины штрихованного треугольника расстояние в два раза меньше чем до соответствующей вершины нештрихованного. Просто из-за подобия.

Ну вот, я думал что пояснения утверждений которые обычно принимаются "на веру" в таком вот духе было бы интересно. Но во-первых их не так много, этих утверждений. Во-вторых если самому говорить, то они легко теряют нить и скучать начинают. А просто решать задачки не хочется. Школьные способы решения задач мне и в школе-то не нравились. В первый год я решал задачи из тех, что для подготовки в Политех. Не могу заставить себя относиться к ним всерьёз. Это значило бы забивать голову кучей ненужных сведений. Так я выяснил для себя, что для жонглирования логарифмами есть штук 10 формул, помимо всем известных логарифма произведения и степени. Любую из них можно вывести, потратив пол часа, но в условиях когда на экзамене 20 задач и на них даётся 2 часа это непозволительные траты времени.

Во второй год у меня был целый класс. Математический. Они много знают, руку набили на всяких преобразованиях, у них много занятий помимо школьных. Им это просто уже скучно. То есть такого рода вещи, как про медианы, я им быстренько рассказал, а какие-то новые вещи, когда надо и послушать и въехать в новый круг понятий и порешать и понять, с этим мне было сложно. Я и сам наверное слишком торопился и пропускал подробности и рассказывал обоснование, когда они ещё не поняли о чём речь и готовится не всегда успевал как следует.

Было бы интересно узнать мнение аудитории по поводу факультатива. Что там должно быть и чего быть не должно. Был ли у кого-нибудь опыт преподавания факультатива? Что рассказывали школьникам и какие задачи решали? Было ли это "по интересам" или все подряд должны были ходить? У меня вот крутится в голове мысль, если ходить в тот же мат. класс, он уже 10-й будет, взять попросту книжку Эйлера про дифференциальное исчисление и излагать по параграфу за раз, задачки придумывать по ходу дела (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Было бы это нормально, кто как думает, или пусть живут? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Далее, мне интересно если кто-нибудь видел доказательство утверждения про медианы в том духе, как я излагал чуть выше, хотел бы узнать, где оно такое есть. Ещё было бы интересно узнать, кто насколько помнит доказательства и обоснования утверждений, которые обычно в школе даются. Я вот многое узнал для себя после школы уже, это у всех так бывает или же я такой разгильдяй? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Может действительно нужно просто отрабатывать технические приёмы и не стараться непременно всё обосновать?

Несколько сумбурно получилось. На самом деле просто про опыт общения со школьниками тоже было бы интересно почитать, если у кого есть.

[Lord-Aries]

Нестандартные доказательства про медианы. Как вводы к темам факультатива(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
1. Дети! Чертим АБСОЛЮТНО ЛЮБОЙ треугольник
2. Дети, проводим 3 медианы точно.
3. Меряем линейкой получившиеся расстояния.
4. Произвольный опят подтвердил теорию.
5. Вероятность того, что из всего многообразия построения треугольников для всего класса наступило совпадение, крайне мала.
Урря, теорема доказана без формул!
6. А теперь пару слов о том, что такое вероятность...

1. Дети! Чертим АБСОЛЮТНО ЛЮБОЙ треугольник
2. Дети, проводим 3 медианы точно.
3. Дети! Чертим АБСОЛЮТНО НЕПОХОЖИЙ на первый треугольник
4. Дети, проводим 3 медианы точно.
5. Меряем линейкой получившиеся расстояния.
6. Вывод - изменения треугольника не вызывает изменения качества разделения медианы.
7. А теперь пару слов о производных(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Не ассоциировать данное с анекдотом про училку и глобус(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
Пока больше Лёгких способов не придумал, а то ещё было в мыслях и вращение координат, закон сохранения импульса, хотя это эффектнее(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)


Что я думаю! Наука никогда не была популярна без практики. Поэтому, мы ставим задачу и решаем её ЛЕГЧЕ чем в школе. И так мы сажаем человека на крючок, чтобы не возится с "сложной (- гы)" геометрией, он приобретает знания производных и теорвера с ОХОТОЙ. Наука не должна витать в стороне от народа(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)


Про факультатив. Я могу ошибаться, но всё же полагаю, что обычному и в школе учат. На факультативах нужно давать что-то нестандартное. Может даже как прообраз высшей школы, чтобы преподаватель вкладывал в слова свой опыт и знания. Хотя скажем на сложении натуральных дробей это сделать сложновато(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

ЗЫ, про надежность вышесказанных методов можно пустить анекдот:

Задача: у разных сторон спортзала стоят мальчики и девочки. В нулевой момент времени они начинают бежать друг к другу. Когда они достигнут друг друга.
Физик: это всё просто, расстояние поделить на сумму скоростей
Философ - никогда, потому что как они пробегут полдороги, у них впереди будет ещё полдороги. Пробегут половину оставшейся дороги - останется опять полдороги.
Инженер: примерно через 20 секунд они будут достаточно близки для любых практических целей(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Мы за инженерный подход(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)