Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[nerev]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

По поводу 2 задачи. Я, конечно, понимаю, что уже много времени прошо, но все же. М.б. мое решение не будет лишним.
Все помнят, что у последовательности или один предел, или его просто нет (мат.ан.). Так вот предположим предел есть нечетное число, тогда запишем x(n+1)=3*x(n)+1 - уже четное. Тогда x(n+2)=x(n+1)/2=(3*x(n)+1)/2 - пусть для наглядности будет нечетным. тогда можно сделать предельный переход. Получим:
a=(3a+1)/2, =>, a=-1. Понятно дело предел нашей последовательности таким число не может быть, т.к. мы изначально берем любое натуральное число.
Тогда x(n+2) - четное число по любой. А значит не на том шаге сделан предельный переход. Тогда предположим, что x(n+3)=x(n+2)/2 - нечетное. Имеем после предельного перехода:
a=(3a+1)/4, =>, a=1. Несложно проверить, что при дальнейшей индукции, исходя из предположения, x(n+k), для k>3, - нечетное, предел a не будет натуральным числом. Точно также a не будет натуральным, если изначально положить предел четным числом. Вот и все доказательство.(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Сообщение отредактировал nerev - 18.04.2008, 15:27