Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[alexpro]

Да, поспешил я с прошлым постом. Есть еще более простое доказательство.

Сохраняя обозначения прошлого сообщения, имеем:

во-первых, сумма градусным мер углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2), а потому величина угла правильного n-угольника равна 180(1-2/n);

во-вторых, так как в любой вершине сходятся s граней, то 180(1-2/n)s<360, а потому (1-2/n)s<2, которое эквивалентно неравенству (n-2)(s-2)<2.

Откуда получаем, что единственно возможными вариантами пар (n,s) будут пары (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) и (5,3).

P.S. Даже формулка Эйлера не понадобилась!!!

Сообщение отредактировал alexpro - 14.05.2007, 16:02