Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[alexpro]

Надо оживить темку (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) . Надеюсь мое решение не совпадает хоть в чем-то с книжными решениями! (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif)

Пусть гранями нашего правильного многогранника будут n-угольники, число которых в нашем многограннике равно k. И пусть в каждой вершине сходятся равно s ребер (это эквивалентно тому, что в каждой вершине соприкасаются s граней). Тогда, во-первых, число вершин равно kn/s, а число ребер - kn/2. По формуле Эйлера имеем:

k(n/s-n/2+1)=2, или k=2/(n/s-n/2+1).

Ну а теперь врубаем здравый смысл:

во первых, число k - натуральное;

во-вторых, в одной вершине сходятся как минимум ребра(грани), при этом сумма градусных мер углов, примыкающих к данной вершине не превосходит 360 (так как при перпендикуляной проекции угла на плоскость его градусная мера больше градусной меры угла в плоскости, а наш многогранник выпуклый и потому существует плоскость содержащая вершину угла такая, что все вершины находятся по одну сторону от этой плоскостии); значит 2<s<6, так как минимальная градусная мера угла правильного n-угольника равна 60 градусам, а 60*6=360 (а надо меньше чем 360).

в-третьих, у правильного шестигранника его градусная мера угла равна 120, а так как в одной вершине сходятся как минимум три грани, то получается ложное неравенство 120*3<360; стало быть, 2<n<6.

Итого, всего возможно девять вариантов:

s=3, n=3, тогда k=4 - тетраэдр;

s=3, n=4, тогда k=6 - куб;

s=3, n=5, тогда k=12 - додекаэр;

s=4, n=3, тогда k=8 - октаэдр;

s=4, n=4, тогда k=2/0 - нет такого правильного многогранника;

s=4, n=5, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника;

s=5, n=3, тогда k=20 - икосаэдр;

s=5, n=4, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника;

s=5, n=5, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника.

Вроде все!

А по поводу второй задачи - это дохлый номер (пока что). Я где-то читал, что из-за нее какой-то американский универ подвис на месяц - все её решали (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) .