Об одном свойстве натуральных чисел Опции

[VikDemakov]

Случайно обнаружил любопытное свойство натуральных чисел. Проверил математические энциклопедии, но нигде не встретил упоминание об этом свойстве натуральных чисел. Многие считают, что число 0 входит в натуральные числа. Другие считают, что число 0 не является натуральным числом. Так вот, обнаруженное свойство натуральных чисел выполняется только для натурального ряда чисел, в который число 0 не входит, и не выполняется для натурального ряда чисел, в который включено число 0.
Рассмотрим операции сложения и вычитания на отрезке ряда натуральных чисел 1, 2, ..., N. Пусть X и Y - натуральные числа от 1 до N.
Обозначим через Z - результат сложения натуральных чисел X и Y. Потребуем от натурального числа Z выполнения неравенства 0 < Z < N + 1, то есть Z должно быть натуральным числом от 1 до N.
Z = X + Y
Если Z < N + 1, то наше требование выполнено. Минимальная величина суммы в этом случае равна 2, а максимальная величина суммы равна N. Таким образом, число Z в этом случае изменяется от 2 до N.
Если Z > N, то наше требование не выполнено. В этом случае вычтем из суммы число N. Получим Z = X + Y - N. Поскольку максимальная величина суммы X + Y равна 2*N, то Z = X + Y - N не превосходит N. Поскольку вычитание числа N из суммы X + Y мы производим только в том случае если эта сумма больше N (равна N + 1, N + 2, ..., 2 * N), то минимальная величина Z = X + Y - N = N + 1 - N = 1. Таким образом, число Z изменяется от 1 до N.
Рассмотрим нахождения чисел X или Y из числа Z.
Здесь возможны два варианта:
1) X = Z - Y = X + Y - Y = X, это обычное вычитание.
2) X = Z - Y = X + Y - N - Y = X - N. Поскольку максимальная величина числа X равна N, то X - N < 1. Следовательно, для получения правильного результата мы должны прибавить к разнице число N. В этом случае X = Z - Y = X + Y - N - Y + N = X.
В действительности нам не нужно знать о том, вычитали мы из суммы Z число N или не вычитали. Достаточно проверять результат вычитания Z - Y на выполнение условия Z - Y < 1. Если неравенство выполняется, то необходимо прибавить число N. Если неравенство не выполняется, то ничего делать не надо.
Аналогично обстоит дело с вычитанием натуральных чисел.
В целом, число ноль не нужно для операций вычитания и сложения с числами отрезка натурального ряда от 1 до N. Достаточно проверять результат операции на условие 0 < Z < N + 1. Если результат операции меньше единицы, то к результату операции необходимо прибавить число N. Если результат операции больше N, то из результата операции необходимо вычесть число N.
Это свойство выполняется только для отрезка ряда натуральных чисел от 1 до N и не выполняется для отрезка ряда чисел от 0 до N, а также для любого отрезка ряда натуральных чисел, начинающегося с числа большего 1.
Прошу математиков и других специалистов высказать свое мнение о важности обнаруженного свойства. Согласен на шнобелевскую премию, поэтому прошу высказываться по-существу. В конце дискуссии я покажу вариант использования этого свойства в практической деятельности людей.

[VikDemakov]

ДОПОЛНЕНИЕ К ОСНОВНОМУ ТЕКСТУ
Ранее я не обо всех особенностях натуральных чисел от 1 до N рассказал.
Арифметика довольна странная.
Пусть X, Y и Z - натуральные числа от 1 до N.
1) X + N > N следовательно X + N - N = X
2) X - N < 1 следовательно X - N + N = X
3) X - X < 1 следовательно X - X + N = N
4) N + N > N следовательно N + N - N = N
5) N - N < 1 следовательно N - N + N = N
6) X + Y = Z существует при всех X, Y, Z
7) X - Y = Z существует при всех X, Y, Z
8) Если X + Y = Z, то X = Z - Y и Y = Z - X при всех X, Y, Z
9) Если X - Y = Z, то X = Z + Y и Y = Z - X при всех X, Y, Z
Как видим, число N выполняет функцию нуля и в то же время больше нуля.
Зададимся вопросом: как наглядно описать представленную арифметику.
По моему мнению, адекватным описанием является арифметика на замкнутой линии. Возьмем обычное изображение числового ряда в виде прямой линии, имеющей начало в виде нуля и числа 1, 2, ..., N через равные промежутки. Это хорошо известная числовая ось с заданным направлением.
Обрежем эту числовую ось по числу N и свернем так, чтобы число N оказалось на месте нуля. В результате у нас образуется замкнутая линия с числами от 1 до N.
Операции сложения будем осуществлять перемещением по линии вправо, а операции вычитания будем осуществлять перемещением по линии влево. Теперь при выполнении операций сложения и вычитания не нужно вычитать число N или прибавлять число N.
Таким образом, описанная нами арифметика является арифметикой на замкнутой линии. Обычная арифметика является арифметикой на прямой линии.
Пример:
N = 10, замкнутая линия от 1 до 10. Положительное направление вправо, отрицательное направление влево.
2 + 3 = ?
Имеем 2, начинаем движение вправо с отсчетом от следующего за 2 числа. Получим 3, 4, 5. Итого 2 + 3 = 5
2 + 10 = ?
Имеем 2, начинаем движение вправо с отсчетом от следующего за 2 числа. Получим 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2. Итого 2 + 10 = 2
4 - 3 = ?
Имеем 4, начинаем движение влево с отсчетом от предыдущего 4 числа. Получим 3, 2, 1. Итого 4 - 3 = 1
4 - 6 = ?
Имеем 4, начинаем движение влево с отсчетом от предыдущего 4 числа. Получим 3, 2, 1, 10, 9, 8. Итого 4 - 6 = 8
Обращаю внимание на то, что аксиомы - это субъективные истины, примаемые нами в качестве истин без доказательства в силу отсутствия у нас фактов противоречия этих истин практике. Законы природы объективны, но формулирование законов природы субъективны и потому не точны и с течением времени подлежат уточнению или даже отрицанию. В этом и состоит смысл утверждения о безграничности познания природы.
Аксиомы числового ряда, сформулированные для чисел на прямой линии не обязаны выполняться для чисел натурального ряда на замкнутой линии.
Прошу уважаемых коллег высказаться по изложенному. Прошу не ссылаться на какие-то математические понятия без конкретных примеров. Если хотите сказать, что все это описано, то приведите пример, показывающий выполнение всех 9 свойств, представленных выше. Так будет справедливо: раз Вы говорите, что все ранее опубликовано, то Вы это и докажите наглядно.