Школьный факультатив по математике Опции

[metelev_sv]

На моё удивление мне опять предлагают в этом году вести факультатив по математике. Я-то думал, что я своим ученикам надоел уже (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) У того же класса, который у меня был в прошлом году и у другого, не математического. И вот я сижу и думаю об этом. Это уже третий год будет. Когда-то я брался за это дело с тем, что вот в школе зачастую утверждения математические даются без пояснений или с минимальными пояснениями или в виде сложных навороченных доказательств, тогда как есть простой способ понять, почему утверждение верно. Поясню, о чём это я. Вот например утверждение, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Я учился по учебнику геометрии Погорелова, в котором доказательство этого утверждения было предложено в виде дополнительной задачи с наводящими соображениями. Решать её я поленился и будучи школьником и сейчас бы не стал (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Там какой-то параллелограмм надо строить, не помню уже сейчас. У Сканави по-моему есть доказательство, которое как раз в духе этой задачи проведено. И в то же время есть же простой способ понять почему это так, который я вывел для себя сам, но наверняка придумал не я первый, а где-нибудь это утверждение в строгом виде есть. Вот чертёж:

Имеется произвольный треугольник АВС. Штрихованные буквы стоят на серединах противолежащих сторон. Образованный ими треугольник (то есть A'B'C') подобен треугольнику АВС. Медианы треугольника АВС являются так же медианами треугольника A'B'C'. То, что они пересекаются в одной точке как-то отдельно надо доказывать, если стремиться к строгости, равно как и остальные утверждения. Но практически выглядит очевидным, что от точки пересечения медиан до вершины штрихованного треугольника расстояние в два раза меньше чем до соответствующей вершины нештрихованного. Просто из-за подобия.

Ну вот, я думал что пояснения утверждений которые обычно принимаются "на веру" в таком вот духе было бы интересно. Но во-первых их не так много, этих утверждений. Во-вторых если самому говорить, то они легко теряют нить и скучать начинают. А просто решать задачки не хочется. Школьные способы решения задач мне и в школе-то не нравились. В первый год я решал задачи из тех, что для подготовки в Политех. Не могу заставить себя относиться к ним всерьёз. Это значило бы забивать голову кучей ненужных сведений. Так я выяснил для себя, что для жонглирования логарифмами есть штук 10 формул, помимо всем известных логарифма произведения и степени. Любую из них можно вывести, потратив пол часа, но в условиях когда на экзамене 20 задач и на них даётся 2 часа это непозволительные траты времени.

Во второй год у меня был целый класс. Математический. Они много знают, руку набили на всяких преобразованиях, у них много занятий помимо школьных. Им это просто уже скучно. То есть такого рода вещи, как про медианы, я им быстренько рассказал, а какие-то новые вещи, когда надо и послушать и въехать в новый круг понятий и порешать и понять, с этим мне было сложно. Я и сам наверное слишком торопился и пропускал подробности и рассказывал обоснование, когда они ещё не поняли о чём речь и готовится не всегда успевал как следует.

Было бы интересно узнать мнение аудитории по поводу факультатива. Что там должно быть и чего быть не должно. Был ли у кого-нибудь опыт преподавания факультатива? Что рассказывали школьникам и какие задачи решали? Было ли это "по интересам" или все подряд должны были ходить? У меня вот крутится в голове мысль, если ходить в тот же мат. класс, он уже 10-й будет, взять попросту книжку Эйлера про дифференциальное исчисление и излагать по параграфу за раз, задачки придумывать по ходу дела (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Было бы это нормально, кто как думает, или пусть живут? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Далее, мне интересно если кто-нибудь видел доказательство утверждения про медианы в том духе, как я излагал чуть выше, хотел бы узнать, где оно такое есть. Ещё было бы интересно узнать, кто насколько помнит доказательства и обоснования утверждений, которые обычно в школе даются. Я вот многое узнал для себя после школы уже, это у всех так бывает или же я такой разгильдяй? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Может действительно нужно просто отрабатывать технические приёмы и не стараться непременно всё обосновать?

Несколько сумбурно получилось. На самом деле просто про опыт общения со школьниками тоже было бы интересно почитать, если у кого есть.

[Elena]

Мысль про факультатив интересная. Сама никогда не вела, но слышала когда-то давно про такой у нас в школе (он был для детей на класс младше, так что я туда никак не попадала). Так вот, мне кажется, им было бы интересно повозиться с некоторыми разделами дискретной математики, например, комбинаторикой и теорией графов. По последнему разделу у меня даже есть интересный сборник задач как раз для школьников в формате djvu. Сама зачитываюсь, а некоторыми из них даже своих студентов развлекаю. Еще можно рассказать некоторые начальные разделы теории вероятностей, как раз под дудочку комбинаторики. Далее, мат. логика, а именно логика высказываний (если такого предмета у них нет в школьной программе), тоже куча всего интересного, в том числе и интересных задач. Потому что факультатив он же по интересам, вот и надо рассказывать интересно. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Еще один вариант - можно решать задачки повышенной сложности для подготовки к вузу. Я бы остановилась на "нестандартных" подходах.

Дифференциальное и интегральное исчисление для десятого класса на факультативе тоже может быть полезным, т.к. в вузах (куда все выпускники мат. класса скорее всего будут поступать) довольно часто рассказывают эти разделы очень сухо и строго, не давая простых объяснений сути происходящего. Мне в свое время удалось достучаться до первокурсников так, что любой самый распоследний двоечник мог сам запросто сочинить определение любого предела (там много вариантов, обычно дают парочку со словами "остальные определения дать самостоятельно"). Пригодилось бы в будущем. Можно и интегралы с производными рассказать, чтобы дети руку на каких-то вещах могли набить. Опять же, полезно. Мои собственные студенты приходили на старших курсах с благодарностью за то, что в свое время я их заставила вычислить чертову прорву производных и интегралов.

В общем, все зависит от целей, собственных интересов, интересов класса и учебной программы.

Такие вот навскидку мысли, если еще что в голову придет, обязательно отпишусь (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[Lord-Aries]

Нестандартные доказательства про медианы. Как вводы к темам факультатива(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
1. Дети! Чертим АБСОЛЮТНО ЛЮБОЙ треугольник
2. Дети, проводим 3 медианы точно.
3. Меряем линейкой получившиеся расстояния.
4. Произвольный опят подтвердил теорию.
5. Вероятность того, что из всего многообразия построения треугольников для всего класса наступило совпадение, крайне мала.
Урря, теорема доказана без формул!
6. А теперь пару слов о том, что такое вероятность...

1. Дети! Чертим АБСОЛЮТНО ЛЮБОЙ треугольник
2. Дети, проводим 3 медианы точно.
3. Дети! Чертим АБСОЛЮТНО НЕПОХОЖИЙ на первый треугольник
4. Дети, проводим 3 медианы точно.
5. Меряем линейкой получившиеся расстояния.
6. Вывод - изменения треугольника не вызывает изменения качества разделения медианы.
7. А теперь пару слов о производных(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Не ассоциировать данное с анекдотом про училку и глобус(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
Пока больше Лёгких способов не придумал, а то ещё было в мыслях и вращение координат, закон сохранения импульса, хотя это эффектнее(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)


Что я думаю! Наука никогда не была популярна без практики. Поэтому, мы ставим задачу и решаем её ЛЕГЧЕ чем в школе. И так мы сажаем человека на крючок, чтобы не возится с "сложной (- гы)" геометрией, он приобретает знания производных и теорвера с ОХОТОЙ. Наука не должна витать в стороне от народа(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)


Про факультатив. Я могу ошибаться, но всё же полагаю, что обычному и в школе учат. На факультативах нужно давать что-то нестандартное. Может даже как прообраз высшей школы, чтобы преподаватель вкладывал в слова свой опыт и знания. Хотя скажем на сложении натуральных дробей это сделать сложновато(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

ЗЫ, про надежность вышесказанных методов можно пустить анекдот:

Задача: у разных сторон спортзала стоят мальчики и девочки. В нулевой момент времени они начинают бежать друг к другу. Когда они достигнут друг друга.
Физик: это всё просто, расстояние поделить на сумму скоростей
Философ - никогда, потому что как они пробегут полдороги, у них впереди будет ещё полдороги. Пробегут половину оставшейся дороги - останется опять полдороги.
Инженер: примерно через 20 секунд они будут достаточно близки для любых практических целей(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Мы за инженерный подход(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[metelev_sv]

Мысль про факультатив интересная. Сама никогда не вела, но слышала когда-то давно про такой у нас в школе (он был для детей на класс младше, так что я туда никак не попадала). Так вот, мне кажется, им было бы интересно повозиться с некоторыми разделами дискретной математики, например, комбинаторикой и теорией графов. По последнему разделу у меня даже есть интересный сборник задач как раз для школьников в формате djvu. Сама зачитываюсь, а некоторыми из них даже своих студентов развлекаю. Еще можно рассказать некоторые начальные разделы теории вероятностей, как раз под дудочку комбинаторики. Далее, мат. логика, а именно логика высказываний (если такого предмета у них нет в школьной программе), тоже куча всего интересного, в том числе и интересных задач. Потому что факультатив он же по интересам, вот и надо рассказывать интересно. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Елена, мне хотелось бы на этот задачник посмотреть. Не знаю, буду ли я эти задачи давать школьникам, но самому интересно. Когда я слышу про теорию графов у меня в памяти всплывает задача про кенигсбергские мосты и вершины+грани-рёбра=2. Из комбинаторики я помню только размещения, сочетания, перестановки, и по-моему она этим исчерпывается. На самом деле достаточно формулы для перестановок, сочетания и размещения из неё более-менее легко получаются.

Отступление для Lord-Aries:
Сочетания, как известно, выражаются формулой n!/(m!(n-m)!)---почему-то именно такой способ общепринятый.
На самом-то деле логичнее было бы вот как трактовать.

1. Допустим есть 5 штук (например) чего-то, обозначим их буквами abcde.
2. Перестановок 5! Очевидно почему. Потому что пусть сначала все 5 мест пустые. Начинаем заполнять. "a" занимает одно из 5 мест. Для "b" при любом раскладе остаётся 4 места. Для "c" при любом раскладе остаётся 3 места. И т.д. Поэтому перемножив 5*4*3*2*1 получим количество перестановок.
3. Количество сочетаний из 5 по 3 (например), оно же количество сочетаний из 5 по 2 (они равны, потому что каждый раз выбирая 3 элемента 2 оставляем, и они сами по себе образуют сочетание. С тем же успехом можно было бы 2 выбирать и 3 оставлять.), оно же соответствующий биномиальный коэффициэнт (коэффициэнт при разложении (a+(IMG:style_emoticons/default/cool.gif) ^5, в нашем случае на втором или на третьем месте). Вот с биномиальными коэффициэнтами как раз по-моему проще всего получить буквенный ответ, потому что симметрично получается.
4. Действовать будем так. Возьмём другие 5 штук чего-то, но из них 3 одинаковых и 2 оставшихся тоже одинаковых. Обозначим их буквами fffgg. Дальше будем действовать как с перестановками, и на это время пометим одинаковые, чтобы отличать, цветом например. Накладывая каждую из перестановок на ряд abcde и выбирая те элементы, которые попадут под f и g, получаем одно из сочетаний. Например исходные позиции дадут сочетания abc (на которые попадут fff) и de (на которые попадут gg). При этом мы посчитаем лишние сочетания, потому что буквы fff и gg пока различаются по цвету, и поэтому сочетания с разным порядком следования будут посчитаны отдельно. На самом деле порядок следования элементов в сочетаниях нас не интересует. Чтобы их исключить нужно убрать временно введённые цвета, то есть поделить на количество перестановок букв fff и букв gg.
То есть общее количество перестановок (2+3)! делим на количество перестановок каждой из групп (fff 3! и gg 2!) по отдельности (2+3)!/(2!3!) --- это и есть искомое количество сочетаний из 5 по 3 или по 2.
5. Аналогичным образом можно действовать, если этих групп не 2, а 3 или больше, получим коэффициэнты для (a+b+c)^n (если групп 3, например.)
6. Аналогично для размещений.

На этом отступление закончено (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Ну вот, по моим представлениям, этим собственно комбинаторика и ограничивается. Про теорию вероятностей---им же это практически нигде не пригодится, как я понимаю. Кроме всего прочего я не чувствую себя уверенно в теории вероятностей. Мне лично она интересна и полезна только в той степени, которая позволяет понимать что такое погрешности. И то строгость мне не нужна, достаточно иметь представление. Про мат. логику---даже не представляю себе о чём это. Силлогизмы это ведь не из той оперы? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вообще я должен признать, что мне ужасно не хватает практики использования общепринятого научного языка. Я не готовился специально к поступлению, не учился в мат. классе, у меня не было репетитора, студентом я был, прямо скажем, не самым усердным. И вот. А понимать ведь мало. Надо ещё уметь высказать на языке, который поймут другие. Поэтому Елена, если Вы будете писать хоть чуть подробнее это мне здорово поможет. Мои ассоциации с упомянутыми Вами разделами математики, насколько они адекватные и полные?

Когда я в первый раз собирался идти на факультатив, у меня тоже мысли были, и то рассказать и это. На самом деле они же не обязаны ходить. Значит, если им будет не интересно, то и не будут. (На всякий случай надо сказать так же, что если мне будет неинтересно, то им тоже скорее всего не будет (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) )) ) А просто, чтобы ввести в курс дела, терминологию ввести, уже уходит куча времени. Я здесь в какой-то мере согласен с Лордом, если нет моментальной практической отдачи, если они не смогут в конце урока сказать, чему они научились именно сегодня---никаких шансов, что они вообще будут ходить. А если чтобы кому-то сказать, чему они научились, сначала им придётся пол часа объяснять о чём это вообще, им будет неинтересно. Это заранее и с гарантией можно сказать. У них полно занятий кроме меня. Они языки учат, танцами занимаются, любовь-морковь, интернет в конце-то концов. У мат. класса математики и без меня много. Честной, обычной школьной математики. У меня такой не было, когда я в школе учился. Ну то есть в классе не было, дома у меня была какая-то книжка, из которой я пытался иногда что-то для себя понять. Был справочник Выгодского.

Ну вот, а практическая отдача возможна в двух случаях. Или они в рамках уже имеющихся знаний решают что-то, обычная тоскливая работа, но она 1. понятна 2. имеет видимые рамки. То есть это нормально воспринимается. Пусть скучно, но понятно что делаем. Или как-то надо всё-таки объяснить, что это не единственно возможный вариант. Что есть другой способ учиться, тратить на задачу пусть 2 недели, пусть 3, зато решить её в конце концов. Вопрос: "в таком случае, а что делать собственно на уроке?" остаётся открытым (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Еще один вариант - можно решать задачки повышенной сложности для подготовки к вузу. Я бы остановилась на "нестандартных" подходах.

Честно сказать, мне-то как раз решения сложных задач школьными методами "нестандартными" способами как раз вовсе не нравится и не нравилось никогда. Они одноразовые все. "Нормальная" математика это язык, способ говорить о реально существующих вещах (таково ведь распростанённое понимание). "Нестандартные" способы это не изучение языка, а скорее вроде как заучивание статей из энциклопедии. Если этот нестандартный способ не изобретён самостоятельно, то он практически бесполезен, даже если про него рассказать. Изобретён же он может быть в совершенно неожиданные моменты времени, даже если и вовсе не собираешься прямо счас нестандартно задачу решить (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Дифференциальное и интегральное исчисление для десятого класса на факультативе тоже может быть полезным, т.к. в вузах (куда все выпускники мат. класса скорее всего будут поступать) довольно часто рассказывают эти разделы очень сухо и строго, не давая простых объяснений сути происходящего. Мне в свое время удалось достучаться до первокурсников так, что любой самый распоследний двоечник мог сам запросто сочинить определение любого предела (там много вариантов, обычно дают парочку со словами "остальные определения дать самостоятельно"). Пригодилось бы в будущем. Можно и интегралы с производными рассказать, чтобы дети руку на каких-то вещах могли набить. Опять же, полезно. Мои собственные студенты приходили на старших курсах с благодарностью за то, что в свое время я их заставила вычислить чертову прорву производных и интегралов.

Вот. Мне вот в школе не говорили явным образом, что все производные из таблицы можно посчитать самостоятельно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Но это я и сам догадался. А вот в такую простую вещь, как производная обратной функции (sin и arcsin например), въезжал гораздо дольше. В школе для меня оставалось загадкой, почему производная arcsin не есть попросту 1/cos. А это такие вещи, которые должны быть понятны до такой степени, чтобы быть "своими", и по мне, об этом должны говорить ещё в школе.

И вот, чем мне старые книги нравятся, основоположников, что они маленькими шажками шли. Много примеров приводили. Подробно и с разных сторон всё обдумывали. Мне всё-таки кажется, что книги великих людей это самое полезное чтение, никакие последующие переложения с ними не сравнятся.

В общем, все зависит от целей, собственных интересов, интересов класса и учебной программы.

Учебной программой меня не терзают. Я сам определяюсь, что я буду рассказывать. Конечно, с учительницей их говорил о том, что они проходят и что я собираюсь рассказывать.

[Lord-Aries]

Гы, а давайте сузим задачу. Какие классы, уровень подготовки и интересов?

[metelev_sv]

Гы, а давайте сузим задачу. Какие классы, уровень подготовки и интересов?

10-е, математический и обычный. Судя по прошлым годам при отсутствии обязаловки сначала приходят человек 5, потом это количество более или менее быстро сокращается, хорошо если не до нуля (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Уровень подготовки---на мой взгляд в моей родной школе №84 города Стерлитамака в 1988 году, когда я учился в 9-м классе, ученики знали больше. Просто поприсутствовал как-то случайно у не мат. класса на пересдаче, где они должны были продемонстрировать свои знания тригонометрии. Почему-то общее настроение учеников здесь, что не они учатся а их учат, что важно где ты учишься, какой учитель, какой репетитор. Это наверное имеет своё психологическое объяснение когда вместо того, что тебе надо выучить акцент делается на том, каким образом ты будешь учить и процесс выбора способа отнимает всё время, так что до учёбы дело и не доходит. Мат. класс---более прилежные и больше знающие, гуманитарный класс---по большому счёту и не надеющиеся что-то понимать в математике. Изначально в голове держат что это им то ли не пригодится, то ли слишком сложно. Это то, что мне бросилось в глаза. На мой-то собственный взгляд, не так важно какой класс, что именно проходят, важнее доступ к книгам, который сейчас при наличии интернета практически неограниченный.

А интересы... Кому-то интересно. Другой приходит с тем, что "а расскажите-ка нам что-нибудь такое, чтобы училка не знала, а я вот на уроке задачку решу и буду выглядеть умным". Приходили девицы, которые на всякий случай не проявляли интереса, а прятались за "хи-хи", а потом ходить бросили. Это не мат. класс которые. А мат. класс---они и сами про себя знают, что необходимое у них по большому счёту уже есть.

Так что задача непростая и не сводится к выбору тем (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Lord-Aries]

Ну мне кажется, что факультатив от школы отличается также, как спортивная секция от урока физкультуры. То есть приходят люди более для удовольствия или чтоб поднакачаться. Ну скорее отметаем удовольствие, к сожалени остается только накачка всякими математическими премудростями. Возможен ещё вариант - люди идут, потому что "так правильно", но по сути им нафиг это не нужно. Но я думаю, что польза от факультатива будет именно тогда, когда мы сможем перевести все эти цели в то положение, когда от математики станут получать удовольствие. Реально, я почти, ну 90 процентов уверен, что проблема с математикой у почти всех проблемных исключительно психологическая(IMG:style_emoticons/default/wink.gif) . Я б строил занятия именно в таком ключе. А темы... Да в принципе про любую можно рассказывать, пока это интересно. ИМХО(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[metelev_sv]

Реально, я почти, ну 90 процентов уверен, что проблема с математикой у почти всех проблемных исключительно психологическая(IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

К тезису, что все болезни от нервов, надо бы добавить что все проблемы на самом-то деле чисто психологические. К математике, правда, это уже не имеет отношения (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Elena]

Уф, попробуем по порядку. Книжку на днях постараюсь выложить, ссылку сюда тогда скину.

Комбинаторика - это наука, отвечающая на вопрос "сколько?", поэтому сочетания, размещения и перестановки - это все сюда. Но там есть довольно интересные конструкции, с которыми все не так просто, как взять подходящую по случаю формулу.

С матлогикой: силлогизмы - это из логики высказываний как раз.

В те времена, когда я только вела семинары по дискретной математике, когда дошло дело до логики высказываний, решила детям устроить из семинара небольшой праздник юмора и даже, содрав предварительно обещание не жаловаться администрации, дала одну хулиганскую задачу (не скажу какую, уж больно хулиганская). Итог: через неделю прибегает ко мне другая группа в полном составе с таким вопросом: "а вот Ваши студенты задали нам задачу, мы ее решить не можем, а они не сознаются, какой ответ. Мы уже все измучились, подскажите хоть, что делать". Оказалось, что это та самая хулиганская задача так всех заинтересовала.

Вероятности. Пример практического применения: сколько нужно купить лотерейных билетов для того, чтобы почти наверняка что-нибудь выиграть? Заинтересовывает даже двоечников. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) Могу еще несколько таких накидать.

Теперь про "нестандартность". Я считаю, что точка зрения о том, что нужно разбирать "стандартные" подходы и не трогать "нестандартные" является не правильной. По крайней мере для тех, кто интересуется математикой, а не просто отсиживает положенные по программе часы. Поясню. Стандартные подходы учат "шаблонному" мышлению и не развивают логику, не учат думать. Нестандартность не обязательно должна быть какой-то такой уж сверхнестандартной и сверхсложной. Например. Прежде чем рассказывать логарифмическую производную, я обычно пишу на доске функцию, производную от которой надо взять самим студентам. Причем намеренно пишу дробь с бешеным количеством произведений в числителе и знаменателе и еще и степенями. Некоторые тут же бросаются решать напрямую по формулам производной произведения и частного, другие округляют глаза с немым вопросом: Вы что, издеваетесь? А я ставлю перед детьми проблему: сколько надо времени, чтобы это решить и сколько еще, чтобы проверить, нет ли ошибок? В общем, даю повод подумать, а нельзя ли придумать что-нибудь попроще? А потом честно говорю, что можно.

Еще один вариант нестандартной задачи на те же производные. Мое любимое "издевательство" над студентами. Задаю такое задание: пишу арксинус, под который запихиваю какую-нибудь бешеную дрянь с дробями, логарифмами, тангенсами, дробными степенями... а потом прибавляю к нему арккосинус с тем же аргументом. У студентов глаза такие же, как на ту функцию, которую я перед лог. производной рисую. Но приступают к решению. Минут через десять-пятнадцать поднимаются оголделые глаза самого скоростного студента с вопросом: а у Вас нет ответа к этой задаче? Я: есть. Он: а какой? Я: а что у Вас получилось? Он: ноль... Я: а в чем проблема? Он: но ведь нулю производная равна только у константы... Тут он снова вылупляется на задачу и соображает, что сам только что ответил на свой вопрос.

Итоговая мысль: нестандартная задача не обязательно сложная и не является одноразовой. Нестандартная задача - это зарядка для мозгов, если хотите. На нестандартных подходах можно находить решения проблем быстрее, чем обычно, например.

По поводу практической отдачи. Прихожу на прошлой неделе читать студентам дискретную математику (первая лекция) и выдаю: а вы знаете, что когда сегодня ехали в университет, использовали теорию графов? Вытаращенные глаза и отвисшие челюсти на такой вопрос гарантированы. Аналогичный вопрос можно задать и школьникам. Например: вам надо доехать в другой конец города на определенную станцию метро, что будете делать? Наверняка смогут проложить маршрут (под это дело можно на всякий случай карту метро прихватить, если вдруг школьники малоездящие). Когда будет готов маршрут, выдаете: а вы знаете, что только что решили задачу поиска кратчайшего пути на графе? Короче говоря, заинтересовать детей математикой масса способов. Еще хорошо, когда есть математический анекдот в тему, тоже можно удачно вкрутить. А иногда просто рассказать математический анекдот (не в тему) для разгрузки. А можно и нематематический, если в тему.

Сегодня был забавный случай. У меня у самой челюсть отвисла. Приходит ко мне вчера студент с вопросом о возможном перезачете оценок с прошлого года (он из академа, а дискретку в прошлом году сдал). Попросила его принести то, что было в прошлом году сделано (т.к. преподаватель был другой). Сегодня приносит материалы. Просмотрела и пообещала перезачесть с той же оценкой. А он, отходя к своей парте, говорит: "Ой, а можно я буду лабораторные работы делать? ТАК ИНТЕРЕСНО!!!"

Поподробнее в прошлом посте не получилось просто потому, что через десять минут после его отправки надо было бежать на пару. Если что-то конкретно интересует, то давайте (кстати, по мне лучше на ты) дальше обсуждать по порядку. Все сразу поподробнее сложно. С чего начинать?

[metelev_sv]

Если что-то конкретно интересует, то давайте (кстати, по мне лучше на ты) дальше обсуждать по порядку. Все сразу поподробнее сложно. С чего начинать?

Пока что не знаю, что именно мне может пригодится. Надо ещё с учительницей их поговорить, чтобы она хотела, чтобы я рассказывал. Что-то своё придумывать это очень и очень непросто, пусть даже на основе хороших книжек. В прошлом году она сама говорила, что неплохо бы им рассказать про теорию вероятностей (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Тогда я не взялся за это. Просто у меня нет цельной картинки в голове, что именно в неё входит, и самому придётся разбираться с каждым уроком. А хочется заранее представлять себе общий объём, что собираешься рассказывать. План, вчерне изложенный в первом ответе (комбинаторика-теория графов-теорвер-мат.логика), есть какая-то книга, которая содержит в себе соответствующий взгляд на вещи или это было придумано "на ходу"? Если браться за теорвер, скажем, по какой книжке это лучше было бы делать и какие задачки решать?

Звонил сегодня завучу, у неё идея чтобы по книжке решать задачи для политеха. Книжка с типовыми задачами для поступления. По мне так это ужасно. Уже говорил почему---это работа на более-менее механическое запоминание стандартного объёма знаний.


Про логарифмическую производную впервые узнал, даже и слов не знал таких и про то что арксинус с арккосинусом одного аргумента в сумме дают константу тоже раньше не задумывался. Спасибо, интересно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Про стандартное и нестандартное --- сами задачи я бы нестандартными не назвал. Нестандартный скорее способ их преподнести. В такой трактовке я полностью "за" (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Но тут ведь не скопируешь 1:1, как и всегда, когда речь идёт о присущих какому-то конкретному человеку свойствах и чертах характера и манере говорить и шутить. Как с анекдотами, нельзя выучить несколько и рассказать и ожидать, что будут смеяться. Когда знаешь много, иногда рассказываешь что-то по случаю и получается хорошо, если в тему (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Elena]

Упомянутая книжка лежит здесь. Рассчитана на школьников. В конце даны необходимые материалы теории графов и разобраны все решения задач.

Касаемо изложенного плана, писала "из головы", просто по тому, что может быть доступно и интересно школьникам. Про то, что можно рассказать в теорвере напишу чуть позже. Если вкратце, то события и все, что с ними связано. Там же будет затронута и комбинаторика и теория множеств. Книжка... ну самому для начала можно почитать первые главы Е.С. Вентцель, "Теория вероятностей", они, в принципе, и детям должны быть понятны.

[Anastasia]

Вы не один такой, а тем более не разгильдяй, если преподаете математику. Многое зависит от преподавателя, от его трактовки предмета и отношения к учащимся. За период обучение в школе у меня было три преподавателя математики и все абсолютно разные. Каждый, наверное по-своему, любил предмет, но "заразить" им учеников так и не смогли, а знания все-таки "вдолбили": факультативов по учебнику Сканави, сложными заданиями не только на уроке, "огромными" домашними заданиями, отрабатывали технические приемы. Такой мозговой штурм у некоторых детей привел не к развитию логики, она осталась в "зародыше", а к развитию интуиции, т.е. ход решения абсолютно не верен, но ответ – правильный и несписанный, решая у доски списать невозможно. Часть "вбитых" школьных знаний не пригодилась и в жизни не используется вообще. Так что Елена права "все зависит от целей, собственных интересов, интересов класса и учебной программы". Сейчас, работая над диссертацией, я каждый день открываю для себя что-то новое в математике, теории вероятности, общей теории систем и теории надежности и восполняю пробелы. Так что учиться никогда не поздно! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[ycheff]

Мне из школьного факультатива по математике (как давно это было!) помнится лишь, что много было задачек на устный счет. Пригодилось в жизни, например, при подсчете денег в магазине, иногда удивляю этим продавцов. Помнится задачка про 6 спичек, из которых надо сложить 4 равносторонних треугольника.

[korson]

Позвольте внести свои 5 копеек. Немного не по теме, зато от души. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Веду занятия у десятиклассников в ФМШ МГТУ на добровольных началах.
За зимний семестр были следующие домашки http://physmath.bmstu.ru/HW/dz_autumn_09.pdf
Ничего факультативного тут и близко нет. (IMG:style_emoticons/default/skonfuzen.gif)

[metelev_sv]

Позвольте внести свои 5 копеек. Немного не по теме, зато от души. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Веду занятия у десятиклассников в ФМШ МГТУ на добровольных началах.
За зимний семестр были следующие домашки http://physmath.bmstu.ru/HW/dz_autumn_09.pdf
Ничего факультативного тут и близко нет. (IMG:style_emoticons/default/skonfuzen.gif)

Никогда не понимал, в чём польза от уменя жонглировать логарифмами. По-моему скорее вред, какой-то бухгалтерский подход. Это как сравнивать цирк и музей с хорошими картинами скажем. Человек может уметь жонглировать, но это просто фокус, забава, посмотреть и забыть, в жизни такие вещи не пригождаются. А учиться и тому и другому приходится долго и упорно.

[Elena]

Никогда не понимал, в чём польза от уменя жонглировать логарифмами.

Такая же, как и от жонглирования, например, синусами.

1. Умение анализировать задачу с использованием известных правил
2. Аккуратность
3. Внимательность

Это так, навскидку.

Творчество - это здорово, но, например, в научной работе креатив - это лишь часть работы, бывает, что и очень небольшая. Дальше идет очень кропотливая, аккуратная и внимательная работа. И это также немаловажно, как и креатив. Иначе результата не будет, а значит, грош цена этому креативу...

[metelev_sv]

Творчество - это здорово, но, например, в научной работе креатив - это лишь часть работы, бывает, что и очень небольшая. Дальше идет очень кропотливая, аккуратная и внимательная работа. И это также немаловажно, как и креатив. Иначе результата не будет, а значит, грош цена этому креативу...

Неправильно построена альтернатива, я вовсе не это имел в виду. С тем, что сказано, я согласен на 100%. Но к сожалению в математике как нигде, можно знать но не понимать. Смотришь на эти примеры и понимаешь, что людям вообще не интересно, что будет в голове у школьника, который будет их решать. Я видел таблицы свойств логарифмов, неожиданно большие, потому что я-то помню только что степень выносится как множитель (логарифм произведения равен сумме логарифмов) и всё, остальное могу вывести. Но на экзамене так делать нельзя, потому что убьёшь на это драгоценный час. В результате нет другого пути, как только эту дурацкую таблицу учить. Зачем? То же самое с тригонометрией. Бесконечные ряды формул, которые как матрёшки следуют одна из другой. А откуда они берутся никто не говорит. Ну редко, в лучших учебниках только есть. Хоть бы писали, хоть мелким шрифтом, хоть для того кому интересно, откуда что берётся. Ведь из-за этого, из-за непонимания, из-за того, что народ думает, что вот главное нужную формулу запомнить или найти человека, который её знает, и происходит во многом та самая лженаука, с которой потом так безуспешно борются. Понятно, откуда берётся такой способ обучения, легче учить---и учителям и ученикам, понятнее, в чём состоит процесс обучения, но меньше стоят знания, потому что такой способ обучения провоцирует зазубривание.

[korson]

Так и знал, что не в той теме написал.
Тем не менее, я предупредил - это не ф а к у л ь т а т и в.

Смотришь на эти примеры и понимаешь, что людям вообще не интересно, что будет в голове у школьника, который будет их решать.

Глядя на эти примеры, ничего нельзя увидеть кроме примеров! Домыслить - можно, и только.

только эту дурацкую таблицу учить Зачем?

Затем, чтобы решить-таки этот дурацкий пример, на этом долбанном ЕГЭ, чтобы хватило баллов поступить туда, куда хочешь ты, а не мама с папой.

А откуда они берутся никто не говорит.

Этот файл - условия домашних заданий за весь семестр.

[Elena]

Но к сожалению в математике как нигде, можно знать но не понимать.

В корне не согласна! В умении решать типовых задач "знать, но не понимать" можно не больше, чем в остальных предметах. Но математика - это прежде всего умение анализировать задачу, а не решать типовые с помощью заученных таблиц. Последнее, кстати, тоже не всегда помогает. Потому как шаг влево шаг вправо от таблицы, где надо хоть чуть домыслить, и все, лапки кверху и толку от этого заучивания ноль.

[metelev_sv]

Так и знал, что не в той теме написал. [...]
Глядя на эти примеры, ничего нельзя увидеть кроме примеров! Домыслить - можно, и только.

Вы делаете ту же самую ошибку, которую приписываете мне, делаете обобщение, причём на примере всего одного человека---меня (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Естественно я говорю основываясь на своём личном опыте. А он свидетельствует как раз о том, что люди могут быть приучены решать примеры, но не смотреть на задачу в целом. Вот как в языке, одно дело учить сами по себе неправильные формы глаголов, а другое дело учить неправильные глаголы в контексте языка, когда понимаешь, что именно хочешь сказать. Хотя учить правильные формы слов нужно и это этап необходимый, но всё же учить их надо в определённый момент, когда деятельность эта представляется осмысленной тебе самому. Вот именно эту разницу я хотел подчеркнуть.

Затем, чтобы решить-таки этот дурацкий пример, на этом долбанном ЕГЭ, чтобы хватило баллов поступить туда, куда хочешь ты, а не мама с папой.

Вот всё понимаю, но это не отменяет того, что в идеале обучение не должно строится таким образом. Обратите внимание, что не настаиваю на идеальном случае, потому что понимаю, что в погоне за идеалом можно вообще ничему не научить.

Этот файл - условия домашних заданий за весь семестр.

На семестр---нормально, наверное.

В умении решать типовых задач "знать, но не понимать" можно не больше, чем в остальных предметах.

Не в этом дело. Вот если по истории человек выучил какую-то тему, то он её знает, такое знание ценная вещь само по себе, независимо от того, насколько глубоко он его может осмыслить в данный момент. А если по математике умеет решать примеры, это ещё не значит что он умеет больше, чем подставить числа в формулу. Само по себе знание формулы не есть ценное знание. Но именно это, неценное знание, легче всего передать, выучить и проверить.

[Elena]

В умении решать типовых задач "знать, но не понимать" можно не больше, чем в остальных предметах.

Не в этом дело. Вот если по истории человек выучил какую-то тему, то он её знает, такое знание ценная вещь само по себе, независимо от того, насколько глубоко он его может осмыслить в данный момент. А если по математике умеет решать примеры, это ещё не значит что он умеет больше, чем подставить числа в формулу. Само по себе знание формулы не есть ценное знание. Но именно это, неценное знание, легче всего передать, выучить и проверить.

Если человек выучил какую-то тему по истории, это значит только то, что он выучил эту тему и может ее цитировать. Никакой ценности такое знание не представляет. Разве что для разгадывания кроссворда. А вот если этот человек может провести аналогии с современностью, проанализировать и сделать свои собственные выводы, дать на основании этих данных возможные прогнозы в сложившейся исторической ситуации - это действительно ценно.

Выученные действия может и робот производить. Человека отличает умение анализировать!

[korson]

Вы делаете ту же самую ошибку, которую приписываете мне, делаете обобщение,

Ошибка была в самом начале. Поленился сделать новую тему. (IMG:style_emoticons/default/happy.gif)

А он свидетельствует как раз о том, что люди могут быть приучены решать примеры, но не смотреть на задачу в целом... когда деятельность эта представляется осмысленной тебе самому.

По списку, в группе 20 десятиклассников, из них ходят 13. Из оставшихся 13 около 4-х человек стараются выполнять задания аккуратно и неплохо справляются с этими стандартными задачками, также 4-5 стараются, но справляются с задачками не так уверенно. Остальные ребята кое-что знают, но не очень осмысленно присутствуют на занятиях. Отсюда главный вопрос: "Какую цель мы преследуем?".

обучение не должно строится таким образом

На первом занятии, когда мы знакомились, я спросил куда кто хочет поступать. Подавляющее большинство ответили и лишь пара-тройка человек совсем ничего не сказали. Поэтому, для них сейчас стоит задача поступить.

Не в этом дело. Вот если по истории человек выучил какую-то тему, то он её знает, такое знание ценная вещь само по себе, независимо от того, насколько глубоко он его может осмыслить в данный момент. А если по математике умеет решать примеры, это ещё не значит что он умеет больше, чем подставить числа в формулу.

Конечно, нет. Потому, что "если человек выучил какую-то тему, то он её знает" можно назвать одним словом "понимание". А в математике стандартных примеров это "понимание" заключается в том, что прорешав N задач по логарифмам, человек может решить N+1 задачу на экзамене, отличную от предыдущих N.
Иначе, "бесценное" жонглирование формулами не даст возможности успешно справиться с незнакомым примером.

Но, мне почему-то кажется, что вы хотите донести нечто большее и очень интересное. Жаль, что я пока не могу этого увидеть.

[metelev_sv]

Но, мне почему-то кажется, что вы хотите донести нечто большее и очень интересное. Жаль, что я пока не могу этого увидеть.

Не берите в голову. Просто выразил словами внутренний протест, возникший при просмотре файла с примерами заданий (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Ну не пригодились бы мне в жизни логарифмы так интенсивно выучиваемые. А вот в школе я не задумывался, что интеграл от xⁿ берётся по известной формуле при любом n, кроме n=-1 и даже когда прочитал книжку Феликса Клейна про преподавание математики в школе, тоже не сразу дошло, что просто формула не работает.

[korson]

Не берите в голову. Просто выразил словами внутренний протест, возникший при просмотре файла с примерами заданий

Ну нет, так просто вы не отвертитесь! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Внутренний протест подразумевает посягательство на то, что вы очень хорошо себе представляете. Поделитесь? (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) Что же вы так рьяно отстаиваете и с чем протестуете?
Ведь есть ещё летний семестр и мне предстоит продолжить общение с ребятами.

[Elena]

Беда нас, взрослых людей, в том, что в головах у нас уже лежат сформировавшиеся знания, но мы совершенно не помним/не знаем, как они туда сложились именно в том виде, в котором есть на данный момент.

Легко говорить, что учат не так и не тому. А вот нас разве не так же учили? Недавно у нас на совете прозвучала мысль, что нынешняя проблема с уровнем подготовки студентов не в школе. Школа как учила, так и учит. Просто раньше лучшие умы шли в технические вузы, а сейчас в гуманитарные. Вот и все. Что-то в этом есть. Хотя не скажу, что согласна с этой мыслью на все 100%.

Так вот, вопрос: а как в наших головах отложились все эти умения выводить соотношения и прочее? Уж не из того ли, что когда-то нас научили "жонглировать логарифмами"? Не надо недооценивать того, чему учат в школе. Я вот, наблюдая за сыном (точнее, его учебой), иногда с удивлением узнаю, что некоторые очевидные вещи, оказывается, рассказывают в первом-втором классе (дальше мы пока еще не доучились, поэтому про остальные классы сказать не могу). (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[metelev_sv]

иногда с удивлением узнаю, что некоторые очевидные вещи, оказывается, рассказывают в первом-втором классе

Так вот, иногда эти очевидные вещи просто вовремя никто не рассказал и это обидно. Хотя и понимаешь умом, что у каждого своё, другим кому-то ещё хуже приходится, кому-то лучше, но хочется о них говорить, об очевидных вещах. Тем более, что это не просто, говорить об очевидных вещах и не выглядеть при этом круглым идиотом (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Что же вы так рьяно отстаиваете и с чем протестуете?

Вы сильно переоцениваете степень эмоций, которые я вкладываю в текст. Я правда, всё сказал что хотел. Где-то есть тема, где я говорю прямо противоположное тому, что здесь только что говорил (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Моя учёба была мне интересной, пока она была самостоятельной. В школе я успевал всё быстрее других. На математике писали список примеров для решения в классе и дома, всё сразу. Я их решал сам, пока кто-то у доски, а все остальные вместе с ним. Ко мне один раз подошёл учитель, посмотреть как я решил пример, отчего я загордился невероятно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Просто у меня было свободное время, которого потом совсем не стало.

Вот чего людям не хватает для успешной учёбы по-моему, это цельной картины. Интересно делается, когда ты знаешь вчерне масштабы и тебе нужно заполнять пропуски. Хорошо, когда пропуски удаётся заполнять на ходу, тогда знания не сваливаются в кучу. Хорошо, когда есть с кем поговорить. Но с чем связано само понимание попробуй пойми. Долбишь-долбишь гранит науки, потом релакс и в минутку тишины приходит что-то умное в голову. Надо чтобы было и то и другое. И работа и время на осмысление. И очевидные вещи в какой-то момент сказать.

А логарифмы мне правда не очень-то пригодились---вот всякие хитрые правила про них. Может быть, конечно, это связано с тем, что я не так интенсивно с ними занимался, может люди которые умеют их по-всякому крутить находят им хорошее применение (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[ycheff]

Факультатив по математике иногда (наверно нечасто) может пригодиться.
Например, выводя формулу Герона, можно вывести еще одну формулу для площади треугольников:

S = 1/4*Sqrt[2(a²b²+b²c²+c²a²)-(a⁴+b⁴+c⁴)]

[Wild Bill]

А логарифмы мне правда не очень-то пригодились---вот всякие хитрые правила про них. Может быть, конечно, это связано с тем, что я не так интенсивно с ними занимался, может люди которые умеют их по-всякому крутить находят им хорошее применение (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

О, люди всему найдут применение! Логарифмы, например, можно выбивать на надгробиях, вроде этого: S = k ln W. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

P.S. А формулы писать можно, как TeX? Тэг такой есть?

Сообщение отредактировал Wild Bill - 5.03.2010, 6:13

[Elena]

P.S. А формулы писать можно, как TeX? Тэг такой есть?

К сожалению, нет.

[Wild Bill]

Всё-таки факультатив по математике в школе был одним из немногих светлых пятен, связанных непосредственно с учебным процессом. Очень убивали уроки литературы, биологии и географии, да и в органической химии плавал. Даже обычные уроки по математике оставляли удурчающее впечатление, а вот на факультативах было здорово, интересные задачи, новые методы...

[Eva]

Поделюсь своим опытом. Я веду не факультатив, а курсы по математике, но, по сути, то же самое. Очень интересными для учеников являются задачи с параметрами. Требуют мышления, зачастую нестандартного. Чтобы их решать, необходимо от и до знать базовый материал, а так как его почти никто так не знает, приходится походу объяснять, например, однородные и симметрические системы, необычные способы замены, способы построения незнакомых графиков, способы оценки множества значений, способы поиска экстремумов без производной, использование векторов для решения, способы анализа примера для поиска решения, способы решения уравнений старших степеней. Прелесть в том, что не надо думать, что именно объяснить-само всплывает по ходу решения таких сложных примеров.Если нужны ссылки на учебные материалы-могу предоставить. Ах да, еще огромный плюс: на ЕГЭ в уровне С стоят именно эти задачи))

Еще совет:возьмите за основу олимпиадные задачи, но не очень сложные, ну или хотя бы с решениями))

Сообщение отредактировал Eva - 8.09.2010, 11:40

[korson]

Если нужны ссылки на учебные материалы-могу предоставить.

Если можно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Wild Bill]

...Ах да, еще огромный плюс: на ЕГЭ в уровне С стоят именно эти задачи))

Со всем бы согласился, только вот радости по поводу ЕГЭ не разделяю, особенно на фоне 100% отличных оценок по русскому языку на Кавказе. (IMG:style_emoticons/default/02.gif)

Хотя задачи с параметрами и сам люблю...

[Eva]

[quote name='korson' date='8.09.2010, 16:22' post='109413']
Если можно (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
[/quotе]
Я вам личным сообщением отправлю, а то не знаю, корректно ли выложить сюда адрес собственного сайта))

[Wild Bill]

Если сайт хороший, не придётся краснеть, то вполне корректно.

[leongur]

Если это сайт, указанный в профиле, то краснеть не за что. Хороший набор книг для самостоятельного изучения.

[Elena]

Я вам личным сообщением отправлю, а то не знаю, корректно ли выложить сюда адрес собственного сайта))

Корректно, если сайт содержит полезную информацию по учёбе и/или науке. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[Wild Bill]

Корректно, если сайт содержит полезную информацию по учёбе и/или науке. (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

А где сайт? Ждём, нам тоже интересно...