Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[Нихт ШиссеН]

Что, вообще никакого просветления? (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Ну хотите я решение первой задачки выложу?

[Ninat]

Задачки интересные, вот только краткость есть проявление большого таланта...
Нет, я в студенчестве также кратко выражался - нет претензий.
Решеие прочитаю с удовольствием, особенно если условие первой задачки будет поподробнее.
Над второй успел немного поразмышлять - действительно забавная штука! Вот с доказательством я не врядли помогу.

[Нихт ШиссеН]

Ок, на днях постараюсь выложить. Набрать надо, т. к. сканера нет...

Вот с доказательством я не врядли помогу.

Издеваетесь? (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/mad.gif) Ладно, винен - пропустил очепятку. Сейчас исправлю (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif)

[Ninat]

x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном

Конечно не доказательство, но размышелния...
По этой формуле из нечетного числа всегда будет четное.
А из четного - может быть и четное и нечетное. А вообще их поровну.
Тогда условие можно исправить.
x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и (3*x(n)+1)/2 при x(n) - нечетном
Получается, что по нечетным числам рост в среднем меньше, чем по четным. Тогда к единице и придем....

[Нихт ШиссеН]

Скоро будет... Это тем, еще ждет (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) (ежели таковые имеются, конечно)

[alexpro]

Надо оживить темку (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) . Надеюсь мое решение не совпадает хоть в чем-то с книжными решениями! (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif)

Пусть гранями нашего правильного многогранника будут n-угольники, число которых в нашем многограннике равно k. И пусть в каждой вершине сходятся равно s ребер (это эквивалентно тому, что в каждой вершине соприкасаются s граней). Тогда, во-первых, число вершин равно kn/s, а число ребер - kn/2. По формуле Эйлера имеем:

k(n/s-n/2+1)=2, или k=2/(n/s-n/2+1).

Ну а теперь врубаем здравый смысл:

во первых, число k - натуральное;

во-вторых, в одной вершине сходятся как минимум ребра(грани), при этом сумма градусных мер углов, примыкающих к данной вершине не превосходит 360 (так как при перпендикуляной проекции угла на плоскость его градусная мера больше градусной меры угла в плоскости, а наш многогранник выпуклый и потому существует плоскость содержащая вершину угла такая, что все вершины находятся по одну сторону от этой плоскостии); значит 2<s<6, так как минимальная градусная мера угла правильного n-угольника равна 60 градусам, а 60*6=360 (а надо меньше чем 360).

в-третьих, у правильного шестигранника его градусная мера угла равна 120, а так как в одной вершине сходятся как минимум три грани, то получается ложное неравенство 120*3<360; стало быть, 2<n<6.

Итого, всего возможно девять вариантов:

s=3, n=3, тогда k=4 - тетраэдр;

s=3, n=4, тогда k=6 - куб;

s=3, n=5, тогда k=12 - додекаэр;

s=4, n=3, тогда k=8 - октаэдр;

s=4, n=4, тогда k=2/0 - нет такого правильного многогранника;

s=4, n=5, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника;

s=5, n=3, тогда k=20 - икосаэдр;

s=5, n=4, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника;

s=5, n=5, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника.

Вроде все!

А по поводу второй задачи - это дохлый номер (пока что). Я где-то читал, что из-за нее какой-то американский универ подвис на месяц - все её решали (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) .

[alexpro]

Да, поспешил я с прошлым постом. Есть еще более простое доказательство.

Сохраняя обозначения прошлого сообщения, имеем:

во-первых, сумма градусным мер углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2), а потому величина угла правильного n-угольника равна 180(1-2/n);

во-вторых, так как в любой вершине сходятся s граней, то 180(1-2/n)s<360, а потому (1-2/n)s<2, которое эквивалентно неравенству (n-2)(s-2)<2.

Откуда получаем, что единственно возможными вариантами пар (n,s) будут пары (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) и (5,3).

P.S. Даже формулка Эйлера не понадобилась!!!

Сообщение отредактировал alexpro - 14.05.2007, 16:02

[VSam]

Четыре весельчака сели играть и играли всю ночь до рассвета.
Они играли за деньги, а не просто для забавы.
У каждого был свой счет.
Ну а когда стали подсчитывать выигрыш, оказалось, что он у всех одинаков!
Вы можете объяснить этот парадокс?
Если никто не проиграл, как же они все выиграли?

[mbikola]

Они играли за деньги

а не на деньги (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
Поэтому и одинаково все...

[VSam]

Два велосипедиста начинают одновременно двигаться навстречу друг другу по прямой дороге –
первый со скоростью 12 км/ч, а второй со скоростью 16 км/ч.
Первоначальное расстояние между ними – 56 км.
Муха, которая летает со скоростью 20 км/ч, взлетает в момент старта велосипедистов с носа первого из них,
летит по прямой ко второму, садится на его нос и, не теряя ни секунды,
летит обратно к первому велосипедисту, потом тут же снова ко второму и т. д.
Какое расстояние проделает муха до конца своей жизни, т. е. до того момента, когда два велосипедиста встретятся нос к носу.

[mbikola]

отличная задпчка Vsam!!!
Решается так:
общая скорость движения велосипедистов - 12+16=28 км/ч, это значит, что они встертятся через 56/28=2 часа. Если временем сидения мухи на носу можно пнебречь, это значит, что она постоянно двигается по прямой со скоростью 20 км/ч. муха будет двигаться столько же времени сколько и велосипедисты, т.к. время ее смерти соответствует времени их встречи. это значит, что муха проделает расстояние 20*2=40 км.
Ответ 40 км! (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[VSam]

отличная задпчка Vsam!!!
Решается так:
общая скорость движения велосипедистов - 12+16=28 км/ч, это значит, что они встертятся через 56/28=2 часа. Если временем сидения мухи на носу можно пнебречь, это значит, что она постоянно двигается по прямой со скоростью 20 км/ч. муха будет двигаться столько же времени сколько и велосипедисты, т.к. время ее смерти соответствует времени их встречи. это значит, что муха проделает расстояние 20*2=40 км.
Ответ 40 км! (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Отличный ответ, mbikola!

[nerev]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

По поводу 2 задачи. Я, конечно, понимаю, что уже много времени прошо, но все же. М.б. мое решение не будет лишним.
Все помнят, что у последовательности или один предел, или его просто нет (мат.ан.). Так вот предположим предел есть нечетное число, тогда запишем x(n+1)=3*x(n)+1 - уже четное. Тогда x(n+2)=x(n+1)/2=(3*x(n)+1)/2 - пусть для наглядности будет нечетным. тогда можно сделать предельный переход. Получим:
a=(3a+1)/2, =>, a=-1. Понятно дело предел нашей последовательности таким число не может быть, т.к. мы изначально берем любое натуральное число.
Тогда x(n+2) - четное число по любой. А значит не на том шаге сделан предельный переход. Тогда предположим, что x(n+3)=x(n+2)/2 - нечетное. Имеем после предельного перехода:
a=(3a+1)/4, =>, a=1. Несложно проверить, что при дальнейшей индукции, исходя из предположения, x(n+k), для k>3, - нечетное, предел a не будет натуральным числом. Точно также a не будет натуральным, если изначально положить предел четным числом. Вот и все доказательство.(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Сообщение отредактировал nerev - 18.04.2008, 15:27

[metelev_sv]

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

Мне тоже стало интересно, как доказать. Немного продвинулся, хоть это и не доказательство, но хочу всё же изложить.

Можно параллельно с последовательностью x(n) рассматривать последовательность m(n), которую строить следующим образом.
1) m(0)=x(0)
2) m(1) находим так: m(0)=2*m(1) если m(0) чётное, и m(0)=2*m(1)+1, если m(1) нечётное.
далее переписываем x(0) через m(1) и совершаем действия, требуемые алгоритмом условия (если получается чётное, то делим пополам,
если получается нечётное, то ... и т.д. и т.п.)
3) Каждый раз, в зависимости от чётности x(n) выбираем m(n+1) чётным или нечётным и выражаем через него m(n)

Будем делать эти итерации, пока m не дойдёт до нуля. Поскольку последовательность m может только уменьшаться, не может быть никаких замкнутых циклов, потому что уменьшаться до бесконечности нельзя. Если производить реальные вычисления, то последовательность m рано или поздно просто-напросто упирается в 0, и дальше идут нули. Ну и ничего страшного, можно в этот момент считать x стартовым и снова начать "спускаться вниз".

Ещё надо подумать, может ещё что-то полезное в голову придёт (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Сообщение отредактировал metelev_sv - 20.05.2008, 10:07

[Lord-Aries]

Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1.

Как можно проще доказать?
*мамой клянусь*

[VSam]

Из квадратов 1x1 , 2x2, 3x3 составили
квадрат 23x 23. Какое найменьшее число квадратов
1x1 могло быть при этом использовано?

[Lord-Aries]

Из квадратов 1x1 , 2x2, 3x3 составили
квадрат 23x 23. Какое найменьшее число квадратов
1x1 могло быть при этом использовано?

0 квадратов. 2+3 = 5. 5*4 = 20. 20+3 = 23
23*23=23^2

[VSam]

0 квадратов. 2+3 = 5. 5*4 = 20. 20+3 = 23
23*23=23^2

Неверно...
В контекте задачи 2+3 не равняется 5!

xx xxx
xx xxx
00 xxx
00 000
00 000

Сообщение отредактировал VSam - 23.05.2008, 0:09

[Lord-Aries]

0. Я бумажку разчертиль(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Тока по-другому, но 0. Я ща на эказмен+дипломники, потом проверю правильность бумашшки(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) .

[metelev_sv]

Из квадратов 1x1 , 2x2, 3x3 составили
квадрат 23x 23. Какое найменьшее число квадратов
1x1 могло быть при этом использовано?

Вот моё наилучшее достижение---один по центру.

[VSam]

Вот моё наилучшее достижение---один по центру.

Отличный ответ metelev_sv!
Остается доказать, что вообще без
квадратов 1x1 обойтись нельзя.

[Lord-Aries]

бумажка у мя была плоха.
Но черчу, пока 1. Математически вроде укладывается

[VSam]

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным,
а другого - невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал:
"Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать.
Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена,
по закону я должен выпустить вас на свободу."

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

[metelev_sv]

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным,
а другого - невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал:
"Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать.
Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена,
по закону я должен выпустить вас на свободу."

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

Мне кажется, это для другой темы задачка (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Там где люди спрашивают и получают в ответ "да" или "нет".

Предположу, что двоих близнецов, очень похожих. Ну вот, нельзя же чтобы заведомо невиновный человек попал в тюрьму. Поэтому приходится отпустить виновного.

[VSam]

Предположу, что двоих близнецов, очень похожих.
Ну вот, нельзя же чтобы заведомо невиновный человек попал в тюрьму.
Поэтому приходится отпустить виновного.

Близко, но виновный установлен точно и нет опасности ошибиться, посадив его...

[Elena]

Может, виновный, так сказать, себя убил? Т.е., например, поменял пол?

P.S. Вариант со сроком давности как-то уж очень скушен...

[VSam]

Может, виновный, так сказать, себя убил? Т.е., например, поменял пол?
P.S. Вариант со сроком давности как-то уж очень скушен...

К сожалению - холодно... Оба живы, здоровы, и никто из них пол не менял.

[metelev_sv]

К сожалению - холодно... Оба живы, здоровы, и никто из них пол не менял.

Жаль. Я как раз хотел предположить, что один из них нездоров и жизнь невиновного подозреваемого зависит от жизнь виновного в медицинском плане. Какая-нибудь кровь подходящей группы или что-то вроде того.

[VSam]

К сожалению - холодно... Оба живы, здоровы, и никто из них пол не менял.

Жаль. Я как раз хотел предположить, что один из них нездоров и жизнь невиновного подозреваемого зависит от жизнь виновного в медицинском плане. Какая-нибудь кровь подходящей группы или что-то вроде того.

Группа крови не имеет значения, но жизнь невиновного подозреваемого действительно зависит от жизни виновного.

[metelev_sv]

Группа крови не имеет значения, но жизнь невиновного подозреваемого действительно зависит от жизни виновного.

Сиамские близнецы?

[VSam]

Сиамские близнецы?

Верный ответ!

[metelev_sv]

Продолжите ряд. Кто решил или знает, продолжайте по одной картинке за раз, чтобы остальные тоже могли поучаствовать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Эскизы прикрепленных изображений

 

[VSam]

(IMG:http://img174.imageshack.us/img174/1696/image005gl3.jpg)

[metelev_sv]

(IMG:http://img174.imageshack.us/img174/1696/image005gl3.jpg)

Да, правильно. Кто следующий? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Мартин]

я =)
Т

[metelev_sv]

я =)
Т

Молодец! Возьми с полки пирожок (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Нестандартные 2 последних ответа. Не скажу почему, это была бы подсказка, а задача и так лёгкая (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[СЛАУ]

В моем случае отгадать легко - ответить трудно. Попробую описанием: квадрат с двумя горизонтальными и двумя вертикальными сторонами, разделенный двумя отрезками на четыре равных квадрата (упомянутые отрезки не выходят за пределы большого квадрата). (IMG:style_emoticons/default/be.gif)

[metelev_sv]

Собственно даже и не задачка. Известно, что скалярное произведение двух векторов a, b можно посчитать двумя эквивалентными способами. (a*b)=|a|*|b|*cos(\alpha). Допустим, что наши вектора трёхмерные, и раскладываются по компонентам так: a=x_ai+y_aj+z_ak и b=x_bi+y_bj+z_bk. Тогда то же самое скалярное произведение можно записать так: (a*b)=x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b. Мне как-то лень было думать на тему, откуда это берётся, а вчера я выяснил для себя что второе выражение получается буквально в две строчки с помощью элементарного рассуждения. Ну вот, на радостях пишу об этом сюда (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[metelev_sv]

Отвечу сам же. Допустим мы желаем найти, какова будет проекция вектора a на прямую, на которой лежит вектор b. Назовём отражение вектора a относительно этой прямой буквой a₁ Очевидно, что |a+a₁| составляет удвоенную длину искомой проекции. Определяется вектор a₁ условиями сохранения длины |a|=|a₁| и тем, что в сумме с вектором a должен получится вектор b с некоторым коэффициэнтом, назовём этот коэффициэнт 2*k. Распишем равенство векторов по компонентам, например для x напишем так: x_a+x_a1=kx_b, и то же самое для других двух компонент (y и z). Далее выразим неизвестные компоненты вектора a₁ через известные компоненты двух других векторов и приравняем длины. Получим (2kx_b-x_a)²+(2ky_b-y_a)²+(2kz_b-z_a)²=x_a²+y_a²+z_a². Раскрыв скобки и проведя преобразования, получим выражение для k. Это будет длина проекции, если за единицу длины принять длину вектора b. Если затем отнормировать оба вектора на 1, то k, с учётом того как мы его ввели, должен оказаться равным косинусу угла между векторами. Отсюда и получается, что одно определение скалярного произведения эквивалентно второму.

[VSam]

Какая цифра будет стоять на 500000-м месте в:

12345678910111213........ ?

[metelev_sv]

Какая цифра будет стоять на 500000-м месте в:

12345678910111213........ ?

у меня получилось 2
9+90*2+900*3+9000*4+90000*5=488889
дальше уже шестизнчные пошли, поэтому
(500000-488889)=1851*6+5

Следовательно искомая цифра выбирается из числа 101852 и стоит в нём на шестом месте (поскольку отсчёт от нуля).

[VSam]

Да, правильно.

[VSam]

В бочке 20 литров вина. Сосед просит налить ему 5 литров а сам пришел с ведрами на 7 и 13 литров.Нет проблем - сказал хозяин. Как он поступил?

[Elena]

У меня получилось так:
Переливаем из бочки в ведро 13 л. вино. В бочке остается 7 л. Теперь из 13-литрового ведра передиваем вино в ведро 7 л. Теперь в бочке 7 л., в 7-литровом ведре 7 л., в 13-литровом ведре 6 л. Теперь из 7-литрового ведра переливаем вино в бочку, а из 13-литрового в 7-литровое. Теперь в бочке 14 л., в 7-литровом ведре 6 л., 13-литровое ведро пустое. Теперь из бочки переливаем вино в 13-литровое ведро. Теперь в 7-литровом ведре 6 л., в бочке 1 л., 13-литровое ведро полное. Теперь из 13-литрового ведра переливаем вино в 7-литровое. Поскольку там уже 6 л. есть, то туда можно перелить только 1 л. Таким образом, в 13-литровом ведре осталось 12 литров. Теперь из 7-литрового ведра выливаем вино в бочку. После этого из 13-литрового ведра, в котором на данный момент 12 л., переливаем вино в 7-литровое ведро. В итоге в 13-литровом ведре необходимые 5 литров, что и требовалось по условию задачи. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Но мне больше понравилась идея Лорда: "А ни фига бы не дал" (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) ))))

[ycheff]

20-7-13 - ёмкости сосудов
20-0-0 - исходные количества

7-0-13
7-7-6
14-0-6
14-6-0
1-6-13
1-7-12
8-0-12
8-7-5

[VSam]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

[mbikola]

как для не математика это уже простая задача - тремя нулями...

надеюсь, не надо доказывать, что произведение предпоследних нескольких чисел не будет заканчиваться нулем... (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Elena]

Не, не тремя. Хотя бы потому, что произведение части сомножителей 2*5*10*20*30 уже дает 4 нуля. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[mbikola]

а, ну тода уже трудно... (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

[metelev_sv]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Произведение чисел от 1 до 9 даёт один ноль, можно прямо проверить. Умножаем на 10, получаем два нуля. В следующих десятках вплоть до 100 ситуация клонируется. Это следует хотя бы из схемы умножения в столбик. Если последние цифры множителей совпадают, то последняя цифра произведения должна получится той же самой. Поэтому каждый десяток даёт два нуля. И в числе 100 содержится ещё один дополнительный. Поэтому первая сотня даёт 21 ноль. Далее ситуация клонируется вплоть до 1000, которая даёт дополнительный ноль. Итого 211 нулей у меня получилось.

[VSam]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Произведение чисел от 1 до 9 даёт один ноль, можно прямо проверить. Умножаем на 10, получаем два нуля. В следующих десятках вплоть до 100 ситуация клонируется. Это следует хотя бы из схемы умножения в столбик. Если последние цифры множителей совпадают, то последняя цифра произведения должна получится той же самой. Поэтому каждый десяток даёт два нуля. И в числе 100 содержится ещё один дополнительный. Поэтому первая сотня даёт 21 ноль. Далее ситуация клонируется вплоть до 1000, которая даёт дополнительный ноль. Итого 211 нулей у меня получилось.

Близко, но не то...

[metelev_sv]

Близко, но не то...

Точно, 20*50 дадут дополнительный ноль в сотне, итого 22 нуля на каждую сотню, и ещё 200*500 даст дополнительный ноль в тысяче. Итого 222 получается.

[VSam]

Точно, 20*50 дадут дополнительный ноль в сотне, итого 22 нуля на каждую сотню, и ещё 200*500 даст дополнительный ноль в тысяче. Итого 222 получается.

Близко, близко ...

[metelev_sv]

Точно, 20*50 дадут дополнительный ноль в сотне, итого 22 нуля на каждую сотню, и ещё 200*500 даст дополнительный ноль в тысяче. Итого 222 получается.

Близко, близко ...

Даже посчитал "в лоб" и теперь знаю правильный ответ, но почему он такой пока не понимаю. Может к вечеру решится задача (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[XuMuK]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Можно представить в виде:

1000!=A·10^B, где

А - не делится на 10, т.е. при разложении на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Тогда для определения количества нулей нужно определить с какими показателями в произведение 1·2·3...998·999·1000 входят 5 и 2. Наименьший показатель B и будет - количество нулей. А т.к. 5>2, то показатель, с которым 5 входит в 1000! и будет наименьшим. Т.е. определяем показатель 5.

1000/5=200 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5
1000/25=40 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5²
1000/125=8 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5³
1000/625=1,6 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5⁴

Количество нулей: B=200+40+8+1=249

[VSam]

Количество нулей: B=200+40+8+1=249

Да, правильнo!

[mbikola]

Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи?

Можно представить в виде:

1000!=A·10^B, где

А - не делится на 10, т.е. при разложении на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Тогда для определения количества нулей нужно определить с какими показателями в произведение 1·2·3...998·999·1000 входят 5 и 2. Наименьший показатель B и будет - количество нулей. А т.к. 5>2, то показатель, с которым 5 входит в 1000! и будет наименьшим. Т.е. определяем показатель 5.

1000/5=200 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5
1000/25=40 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5²
1000/125=8 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5³
1000/625=1,6 - чисел от 1 до 1000 делятся на 5⁴

Количество нулей: B=200+40+8+1=249

И этот человек химией занимается???????????????

(IMG:style_emoticons/default/ai.gif) (IMG:style_emoticons/default/ai.gif) (IMG:style_emoticons/default/ai.gif)

[VSam]

Вася пишет числа в ряд от 1 до 60, одно число за другим: 123...5960.
А затем он стирает 100 цифр из этого ряда так, чтобы оставшиеся цифры,
если их сдвинуть близко друг к другу, составили самое большое из возможных чисел.
Чему равно это число?

[Lord-Aries]

Вася пишет числа в ряд от 1 до 60, одно число за другим: 123...5960.
А затем он стирает 100 цифр из этого ряда так, чтобы оставшиеся цифры,
если их сдвинуть близко друг к другу, составили самое большое из возможных чисел.
Чему равно это число?

100 цифр подряд?

[VSam]

100 цифр подряд?

Нет ...

[Lord-Aries]

тогда все просто 110 циферей, 10 надо оставить

9999985960

[VSam]

тогда все просто 110 циферей, 10 надо оставить

9999985960

Посчитаем количество цифр в ряду.
Однозначных чисел 9, двузначных 60-9=51.
Всего 51*2+9=111 цифр.....

[ycheff]

Тогда вот как: 99999785960

Сначала набираем девяток - последняя от 49, затем берем наибольшую цифру (чтобы хватало разрядов числа - 7), далее 85960 - что осталось.

Вспомнил в чем-то аналогичную задачку:
Написать 2 целых 10-значных числа, составленных из неповторяющихся цифр от 0 до 9, делящиеся на 11 - наименьшее и наибольшее из них.

[Elena]

У меня получилось:
1024375869
9876524130

[metelev_sv]

У меня получилось:
1024375869
9876524130

Лен, так 11 цифр должно быть, на что VSam справедливо указал Лорду два сообщения назад. А потом, первые цифры-то должны быть девятки. Наверное это решение от какой-нибудь другой интересной задачи (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

[Elena]

Ну я вообще-то решала задачку, предложенную ycheff'ом (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) Если будет интересно, как у меня получился такой ответ, попозже напишу (я ща не из дома пишу просто)

[VSam]

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда,

когда сумма цифр с чередующимися знаками равна 0 или делится на 11

(то есть 1024375869 делится на 11, так как 1-0+2-4+3-7+5-8+6-9 = -11 делится на 11;

9876524130 тоже делится на 11, так как 9-8+7-6+5-2+4-1+3-0 = 11 делится на 11).

[ycheff]

Признак делимости на 11 - это лишь начало решения. Решение примерно такое:
Кроме того важно, что сумма всех цифр числа равна 45, так что 0 и 22 для разности сумм четных и нечетных цифр числа не удастся получить (число 45 нечетное).
Легко показать, что разность +/-33 дает числа, далекие от оптимальных (либо большие цифры лезут в первые разряды для числа, которое должно быть малым, либо малые лезут в первые разряды числа, которое должно быть большим), так что приходится искать числа с разностью +/-11 (одна сумма при этом равна (45+11)/2=28, другая 17).
Минимальное число должно быть по возможности ближе к числу 1023456789. Но уже сохраняя 4 первые цифры (1023...), получим 3 для сумм первых пар цифр, значит суммы для остальных должны быть 25 и 14 (это невозможно, так как 4+5+6=15>14 или 7+8+9=24<25). Приходится 3 поменять с 4 местами (теперь ищем число в виде 1024...). Тогда суммы для первых пар цифр 3 и 4, значит суммы для остальных цифр могут быть 17-3=14 и 28-4=24, что нам в самый раз подходит - 4, 5, 6 идут в нечетные разряды, а 7, 8, 9 - в четные: 1024375869.
Максимальное число должно быть ближе к числу 9876543210. Сохраняя 6 цифр (987654...), получим суммы первых троек цифр 21 и 18 (18>17), это не подходит. 4 заменить на 3 недостаточно, так как сумма будет 17, а нулями оставшиеся цифры быть не могут. Значит 4 заменяем на 2, а в четные разряды попадут 1 и 0 (в нечетные, соответственно 4 и 3). Теперь получается ответ: 9876524130.

[VSam]

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?