Задачки, решающиеся элементарно, по возможности как можно более элементарно Опции

[Нихт ШиссеН]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

[Нихт ШиссеН]

Что, вообще никакого просветления? (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/sad.gif) Ну хотите я решение первой задачки выложу?

[Ninat]

Задачки интересные, вот только краткость есть проявление большого таланта...
Нет, я в студенчестве также кратко выражался - нет претензий.
Решеие прочитаю с удовольствием, особенно если условие первой задачки будет поподробнее.
Над второй успел немного поразмышлять - действительно забавная штука! Вот с доказательством я не врядли помогу.

[Нихт ШиссеН]

Ок, на днях постараюсь выложить. Набрать надо, т. к. сканера нет...

Вот с доказательством я не врядли помогу.

Издеваетесь? (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/mad.gif) Ладно, винен - пропустил очепятку. Сейчас исправлю (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif)

[Ninat]

x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном

Конечно не доказательство, но размышелния...
По этой формуле из нечетного числа всегда будет четное.
А из четного - может быть и четное и нечетное. А вообще их поровну.
Тогда условие можно исправить.
x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и (3*x(n)+1)/2 при x(n) - нечетном
Получается, что по нечетным числам рост в среднем меньше, чем по четным. Тогда к единице и придем....

[Нихт ШиссеН]

Скоро будет... Это тем, еще ждет (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) (ежели таковые имеются, конечно)

[alexpro]

Надо оживить темку (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) . Надеюсь мое решение не совпадает хоть в чем-то с книжными решениями! (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif)

Пусть гранями нашего правильного многогранника будут n-угольники, число которых в нашем многограннике равно k. И пусть в каждой вершине сходятся равно s ребер (это эквивалентно тому, что в каждой вершине соприкасаются s граней). Тогда, во-первых, число вершин равно kn/s, а число ребер - kn/2. По формуле Эйлера имеем:

k(n/s-n/2+1)=2, или k=2/(n/s-n/2+1).

Ну а теперь врубаем здравый смысл:

во первых, число k - натуральное;

во-вторых, в одной вершине сходятся как минимум ребра(грани), при этом сумма градусных мер углов, примыкающих к данной вершине не превосходит 360 (так как при перпендикуляной проекции угла на плоскость его градусная мера больше градусной меры угла в плоскости, а наш многогранник выпуклый и потому существует плоскость содержащая вершину угла такая, что все вершины находятся по одну сторону от этой плоскостии); значит 2<s<6, так как минимальная градусная мера угла правильного n-угольника равна 60 градусам, а 60*6=360 (а надо меньше чем 360).

в-третьих, у правильного шестигранника его градусная мера угла равна 120, а так как в одной вершине сходятся как минимум три грани, то получается ложное неравенство 120*3<360; стало быть, 2<n<6.

Итого, всего возможно девять вариантов:

s=3, n=3, тогда k=4 - тетраэдр;

s=3, n=4, тогда k=6 - куб;

s=3, n=5, тогда k=12 - додекаэр;

s=4, n=3, тогда k=8 - октаэдр;

s=4, n=4, тогда k=2/0 - нет такого правильного многогранника;

s=4, n=5, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника;

s=5, n=3, тогда k=20 - икосаэдр;

s=5, n=4, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника;

s=5, n=5, тогда k<0 - нет такого правильного многогранника.

Вроде все!

А по поводу второй задачи - это дохлый номер (пока что). Я где-то читал, что из-за нее какой-то американский универ подвис на месяц - все её решали (IMG:http://www.sci-lib.net/style_emoticons/default/smile.gif) .

[alexpro]

Да, поспешил я с прошлым постом. Есть еще более простое доказательство.

Сохраняя обозначения прошлого сообщения, имеем:

во-первых, сумма градусным мер углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2), а потому величина угла правильного n-угольника равна 180(1-2/n);

во-вторых, так как в любой вершине сходятся s граней, то 180(1-2/n)s<360, а потому (1-2/n)s<2, которое эквивалентно неравенству (n-2)(s-2)<2.

Откуда получаем, что единственно возможными вариантами пар (n,s) будут пары (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) и (5,3).

P.S. Даже формулка Эйлера не понадобилась!!!

Сообщение отредактировал alexpro - 14.05.2007, 16:02

[VSam]

Четыре весельчака сели играть и играли всю ночь до рассвета.
Они играли за деньги, а не просто для забавы.
У каждого был свой счет.
Ну а когда стали подсчитывать выигрыш, оказалось, что он у всех одинаков!
Вы можете объяснить этот парадокс?
Если никто не проиграл, как же они все выиграли?

[mbikola]

Они играли за деньги

а не на деньги (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)
Поэтому и одинаково все...

[VSam]

Два велосипедиста начинают одновременно двигаться навстречу друг другу по прямой дороге –
первый со скоростью 12 км/ч, а второй со скоростью 16 км/ч.
Первоначальное расстояние между ними – 56 км.
Муха, которая летает со скоростью 20 км/ч, взлетает в момент старта велосипедистов с носа первого из них,
летит по прямой ко второму, садится на его нос и, не теряя ни секунды,
летит обратно к первому велосипедисту, потом тут же снова ко второму и т. д.
Какое расстояние проделает муха до конца своей жизни, т. е. до того момента, когда два велосипедиста встретятся нос к носу.

[mbikola]

отличная задпчка Vsam!!!
Решается так:
общая скорость движения велосипедистов - 12+16=28 км/ч, это значит, что они встертятся через 56/28=2 часа. Если временем сидения мухи на носу можно пнебречь, это значит, что она постоянно двигается по прямой со скоростью 20 км/ч. муха будет двигаться столько же времени сколько и велосипедисты, т.к. время ее смерти соответствует времени их встречи. это значит, что муха проделает расстояние 20*2=40 км.
Ответ 40 км! (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

[VSam]

отличная задпчка Vsam!!!
Решается так:
общая скорость движения велосипедистов - 12+16=28 км/ч, это значит, что они встертятся через 56/28=2 часа. Если временем сидения мухи на носу можно пнебречь, это значит, что она постоянно двигается по прямой со скоростью 20 км/ч. муха будет двигаться столько же времени сколько и велосипедисты, т.к. время ее смерти соответствует времени их встречи. это значит, что муха проделает расстояние 20*2=40 км.
Ответ 40 км! (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Отличный ответ, mbikola!

[nerev]

Ну вот, например, как проще всего доказать, что правильных многогранников всего пять? И почему только пять? Оказывается, для элементарного доказательства данного факта достаточно обыкновенного здравого смысла плюс формула Эйлера. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Я доказал, а вы сможете?

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

В общем, такого плана задачки сыпьте сюда.

По поводу 2 задачи. Я, конечно, понимаю, что уже много времени прошо, но все же. М.б. мое решение не будет лишним.
Все помнят, что у последовательности или один предел, или его просто нет (мат.ан.). Так вот предположим предел есть нечетное число, тогда запишем x(n+1)=3*x(n)+1 - уже четное. Тогда x(n+2)=x(n+1)/2=(3*x(n)+1)/2 - пусть для наглядности будет нечетным. тогда можно сделать предельный переход. Получим:
a=(3a+1)/2, =>, a=-1. Понятно дело предел нашей последовательности таким число не может быть, т.к. мы изначально берем любое натуральное число.
Тогда x(n+2) - четное число по любой. А значит не на том шаге сделан предельный переход. Тогда предположим, что x(n+3)=x(n+2)/2 - нечетное. Имеем после предельного перехода:
a=(3a+1)/4, =>, a=1. Несложно проверить, что при дальнейшей индукции, исходя из предположения, x(n+k), для k>3, - нечетное, предел a не будет натуральным числом. Точно также a не будет натуральным, если изначально положить предел четным числом. Вот и все доказательство.(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Сообщение отредактировал nerev - 18.04.2008, 15:27

[metelev_sv]

Ну, что еще... Вот, знаменитая последовательность x(n+1) = x(n)/2 при x(n) - четном и 3*x(n)+1 при x(n) - нечетном. Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1. Мне доказать не удается ибо сложность полных прообразов возрастает с номером итерации геометрически а регулярной процедуры я что-то сообразить не могу. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Может у кого-нибудь из вас терпения окажется больше?

Мне тоже стало интересно, как доказать. Немного продвинулся, хоть это и не доказательство, но хочу всё же изложить.

Можно параллельно с последовательностью x(n) рассматривать последовательность m(n), которую строить следующим образом.
1) m(0)=x(0)
2) m(1) находим так: m(0)=2*m(1) если m(0) чётное, и m(0)=2*m(1)+1, если m(1) нечётное.
далее переписываем x(0) через m(1) и совершаем действия, требуемые алгоритмом условия (если получается чётное, то делим пополам,
если получается нечётное, то ... и т.д. и т.п.)
3) Каждый раз, в зависимости от чётности x(n) выбираем m(n+1) чётным или нечётным и выражаем через него m(n)

Будем делать эти итерации, пока m не дойдёт до нуля. Поскольку последовательность m может только уменьшаться, не может быть никаких замкнутых циклов, потому что уменьшаться до бесконечности нельзя. Если производить реальные вычисления, то последовательность m рано или поздно просто-напросто упирается в 0, и дальше идут нули. Ну и ничего страшного, можно в этот момент считать x стартовым и снова начать "спускаться вниз".

Ещё надо подумать, может ещё что-то полезное в голову придёт (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Сообщение отредактировал metelev_sv - 20.05.2008, 10:07

[Lord-Aries]

Требуется доказать, что начав с любого числа всегда придем к 1.

Как можно проще доказать?
*мамой клянусь*

[VSam]

Из квадратов 1x1 , 2x2, 3x3 составили
квадрат 23x 23. Какое найменьшее число квадратов
1x1 могло быть при этом использовано?

[Lord-Aries]

Из квадратов 1x1 , 2x2, 3x3 составили
квадрат 23x 23. Какое найменьшее число квадратов
1x1 могло быть при этом использовано?

0 квадратов. 2+3 = 5. 5*4 = 20. 20+3 = 23
23*23=23^2

[VSam]

0 квадратов. 2+3 = 5. 5*4 = 20. 20+3 = 23
23*23=23^2

Неверно...
В контекте задачи 2+3 не равняется 5!

xx xxx
xx xxx
00 xxx
00 000
00 000

Сообщение отредактировал VSam - 23.05.2008, 0:09

[Lord-Aries]

0. Я бумажку разчертиль(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Тока по-другому, но 0. Я ща на эказмен+дипломники, потом проверю правильность бумашшки(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) .

[metelev_sv]

Из квадратов 1x1 , 2x2, 3x3 составили
квадрат 23x 23. Какое найменьшее число квадратов
1x1 могло быть при этом использовано?

Вот моё наилучшее достижение---один по центру.

[VSam]

Вот моё наилучшее достижение---один по центру.

Отличный ответ metelev_sv!
Остается доказать, что вообще без
квадратов 1x1 обойтись нельзя.

[Lord-Aries]

бумажка у мя была плоха.
Но черчу, пока 1. Математически вроде укладывается

[VSam]

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным,
а другого - невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал:
"Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать.
Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена,
по закону я должен выпустить вас на свободу."

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

[metelev_sv]

Двоих судили за убийство. Присяжные признали одного из обвиняемых виновным,
а другого - невиновным. Судья обратился к тому, кто был признан виновным, и сказал:
"Это самое странное дело из всех, которые мне приходилось разбирать.
Хотя ваша вина вне всяких сомнений установлена,
по закону я должен выпустить вас на свободу."

Как объяснить столь неожиданное заявление судьи?

Мне кажется, это для другой темы задачка (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Там где люди спрашивают и получают в ответ "да" или "нет".

Предположу, что двоих близнецов, очень похожих. Ну вот, нельзя же чтобы заведомо невиновный человек попал в тюрьму. Поэтому приходится отпустить виновного.