Та-а-а-к... ну хватит, я исправил свое сообщение , читайте.

То, что Вы не можете понять этот пример, не Ваша вина, главное, не бросать то, что с первого раза не стало ясным. Этот пример показывает, что нестрогость и отсутствие формализма в математике начинается с самых основ. Иначе вопросы: "почему делить на ноль нельзя?" или "я придумал, как делить на ноль" не появлялись бы с таким постоянством, например:
http://zahav.elementy.ru/email?discuss=1530320

Вместо _объяснения_ «деления на ноль» вводится правило «нельзя». Нахождение предела при стремлении аргумента к нулю это попытка убрать с глаз долой не украшающий математику парадокс с делением на ноль числа. Однако тут же находится подобный парадокс и в самой теории пределов. Есть функции, которые не имеют предела, и есть функции, в некоторых точках у которых и предел, и значение существуют, но разные.

Сейчас Вам скажут, что это не парадокс, а просто исключение, чуть ли не подтверждающее правило. Действительно, для тех, кто так сразу и скажет, наверное, математика это хороший толстый справочник. А в хороших справочниках есть и правила, и исключения. Ну и ладно, пусть себе обсчитывают свои модели с проверками на исключения ;) Для тех, кто понимает, что такое парадокс, парадокс — это находка. Все прорывы совершались на решении парадоксов.

Вместо толстого справочника возьмите пакет Математика.

Упорство надо вознаграждать, поэтому потрачу свое время, остальные, видно, сильно заняты ;)

1. Найдите пакет "Математика"
2. Откройте новый блокнот, вставьте:
   Код
   NSum[x^2 /(1 + x^2)^n, {n, 0, \[Infinity]}, {x, -0.4, -0.4}]
   Поставьте курсор внутрь этой строки и нажмите Shift+Enter (команда вычислить). С помощью NSum(численным методом) мы вычислили сумму N-последовательности при x=0.4.
   
   
3. Ведите курсор вниз, пока он не ляжет набок. Это означает, что можно начать новый вычислительный блок. Щелчок, вставляем:
   Код
   NSum[x^2 /(1 + x^2)^n, {n, 0, \[Infinity]}, {x, -0.05, -0.05}]
   Shift+Enter (команда вычислить), вычислили сумму N-последовательности при x=-0.05.
   
   
4. Неудобно, да? Пусть нам табличку посчитает для ряда значений:
   Код
   Table [NSum[x^2 /(1 + x^2)^n, {n, 0, \[Infinity]}, {x, i, i}], {i, 1, 0.05, -0.02}]
   Уже всё видно и понятно, но некрасиво. Займемся украшательством.
   
   
5. Код
   SSS = Table [NSum[x^2 /(1 + x^2)^n, {n, 0, \[Infinity]}, {x, i, i}], {i, 1, 0.05, -0.02}];
   XXX = Table [i, {i, 1, 0.05, -0.02}];
   TableForm[
   {
     XXX,
     SSS
     },
   TableHeadings -> {{"наша «i» \[Rule]", "Сумма    \[Rule]"}, {"", ""}},
   TableSpacing -> {2, 2.5},
   ]
   ListPlot[{SSS}, PlotRange -> {0, 2.1},
   PlotStyle -> Directive[PointSize[Medium], Red]]
   
   Вставляете одним куском при лежащем курсоре, и где-н. внутри этого многострочного куска жмете Shift+Enter. Должно быть видно вот это. (Mathematica 6)

Итого: что мы делали? подходили всё ближе к нулю, правило вычисления пределов и численное моделирование поведения функции предсказывали, что предел =1. Но совершенно очевидно, что подстановка ноля дает значение нуль.
Пора закругляться, снова много "букафф" написал :) ну, хоть с картинками ;)

А да, кстати. Вам очевидно было, что проблема у этой функции _есть_? И что проблема есть именно в этой точке? Спросите у математиков правило нахождения таких точек :)

частично мое мнение высказано здесь: http://www.sci-lib.net/index.php?showtopic...ost&p=88142

Попробую восстановить рассуждения. Для этого, по привычке, просто запишу тезисы ответивших. По привычке, потому что в программировании следить за условиями и джампами легко, только если всё умещается на экране без прокрутки. :)

1. Почему нельзя делить на ноль? -- человек ищет причину.
2. Приводит к неопределенностям. -- тезисный ответ. Тезис не снят.
3. Неопределенность настолько страшная вещь, что ввели правило: на 0 делить нельзя.
4. Оказывается, не настолько страшная -- есть раскрытие неопределенностей.
5. А раскрытием неопределенностей занимается теория пределов.
6. Раскрытие состоит в том, что вместо ноля используется не число, а функция.
7. Судя по сказанному, вычисление предела и есть тот способ, когда "если нельзя, но очень хочется..."

Всё хорошо? Вроде. Но вычисление пределов оказывается тем же фикусом, что и зачисление ноля в числа. Вычисление пределов работает... но не всегда. Здесь глаз да глаз нужен, на предмет подозрительности некоторых точек у функции.

Хрестоматийный пример.

[ Предел этой последовательности равен 0. А прямая подстановка ноля дает 1. ] ◄ ошибка, см. сообщения ниже
► Предел этой последовательности при x→0 равен 1. А прямая подстановка ноля дает 0.
Можно и непрерывную функцию посмотреть:
Plot[1/(1 + x^2)^x, {x, -3, 3}, PlotRange -> {{-3, 3}, {0, 20.}},
PlotStyle -> {Hue[0], Thickness[0.005]}, AxesLabel -> {"x", "y"},
Background -> GrayLevel[0.95]]


Что же хотели сказать автору темы? Неясность и еще раз неясность... Наверное, то, что заменив символ «0» на бесконечно малую величину (функцию), мы спрятали вопрос о делении на ноль в долгий ящик. =)

============================
сепульки, см. сепулькарии. (с)Лем
============================

http://bse.sci-lib.com/article066626.html
«Круг в определении (лат. circulus in definiendo), логическая ошибка, состоящая в том, что некоторое понятие (или термин) А определяется через другое понятие (термин) В, хотя В, в свою очередь, не может быть определено без использования А.»

Что же представляет собой введение бесконечной малой величины (б.м.в.)? Фактически, это фиговый листочек, которым прикрыли произвол в математике. Для детей взяли и по свое ВОЛе, про-из-ВОЛьно, запретили делить на ноль. Для взрослых дядей предложили вычисление пределов.

Но что такое б.м.в. с точки зрения элементов множества? Это числовая прямая с выколотой точкой ноль. Но остался же вопрос — а почему эту точку, «ноль», исключили? А потому, дорогие взрослые, что «на ноль делить нельзя».

========== circulus in definiendo ===============